O que significa dizer que f tem um ponto de sela em (a, b).

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que significa dizer que uma função real de duas variáveis f tem um ponto de sela em (a,b). O conteúdo aqui é pontos críticos e teste da matriz Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Para ter um ponto de sela, primeiro (a,b) deve ser um ponto crítico de f, ou seja, o gradiente deve se anular: nabla f(a,b) = (fx(a,b),,fy(a,b)) = (0,0).
Em seguida, usamos a matriz Hessiana em (a,b):
H(f)(a,b) = fxx(a,b) & fxy(a,b) fyx(a,b) & fyy(a,b)

Passo 3

O teste de classificação diz que, se essa matriz tiver autovalores de sinais opostos (ou seja, for indefinida), então (a,b) não é nem mínimo nem máximo local, mas um ponto de sela. Em termos de determinante e traço, isso equivale a det H(f)(a,b)<0.
Logo, um ponto de sela é um ponto crítico onde a Hessiana é indefinida, fazendo com que f aumente em algumas direções e diminua em outras.

Resposta

Dizer que f tem um ponto de sela em (a,b) significa que nabla f(a,b)=(0,0) e a matriz Hessiana em (a,b) é indefinida (tem determinante negativo), o que faz com que f aumente em certas direções e diminua em outras, sem ser nem máximo nem mínimo local.

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