Calcule integralgamma x d x+(x^2+y+z) d y+x y z d z, onde gamma(t)=(t, 2 t, 1), 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A questão pede para calcularmos:
integralgamma x , dx + (x^2+y+z) dy + x y z , dz
onde a curva gamma(t) é definida por (t, 2 t, 1) com 0 <= t <= 1.
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha em cálculo vetorial. Vamos precisar parametrizar a curva gamma(t) e substituir na integral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t). Ela já está dada como gamma(t) = (t, 2t, 1), onde t varia de 0 a 1. Isso significa que:
x(t) = t, y(t) = 2t, z(t) = 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas das funções de x(t), y(t) e z(t) em relação a t:
dxdt = 1, dydt = 2, dzdt = 0

Passo 4

Substituímos as parametrizações na integral original. A integral se torna:
integral0^1 [ x(t) dxdt + (x(t)^2 + y(t) + z(t)) dydt + x(t) y(t) z(t) dzdt ] dt
Substituindo os valores:
integral0^1 [ t cdot 1 + (t^2 + 2t + 1) cdot 2 + t cdot 2t cdot 1 cdot 0 ] dt

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da integral:
integral0^1 [ t + 2(t^2 + 2t + 1) + 0 ] dt = integral0^1 [ t + 2t^2 + 4t + 2 ] dt
Juntando termos semelhantes:
integral0^1 [ 2t^2 + 5t + 2 ] dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 2t^2 , dt = 23 t^3 |0^1 = 23
integral0^1 5t , dt = 52 t^2 |0^1 = 52
integral0^1 2 , dt = 2t |0^1 = 2

Passo 7

Somamos os resultados das integrais:
23 + 52 + 2 = 23 + 52 + 42 = 23 + 92 = 46 + 276 = 316

Resposta

O valor da integral integralgamma x , dx + (x^2+y+z) dy + x y z , dz é 316.

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