Seja F(x, y)=(3+2 x y) i+(x^2-3 y^2) j um campo vetorial.
(d) (3 pontos) Como F(x, y) é conservativo use o caminho C1 definido por
r(t)=-t j, -1 <= t <= e^pi
para calcular integralC1 F cdot d r diretamente.

Passo 1

O exercício nos dá o campo vetorial F(x,y)=(3+2xy)i + (x^2-3y^2)j e pede para calcular diretamente integralC1Fcdot dr usando o caminho C1 definido por r(t)=-t,j, para -1<= t<= e^pi. Vamos precisar usar a definição de integral de linha parametrizada:

Passo 2

A definição de integral de linha de um campo vetorial diz que
integralC Fcdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r'(t) ,dt
Aqui temos r(t)=(0,-t) com t variando de -1 a e^pi.

Passo 3

Derivando a parametrização, obtemos
r'(t)=(0,-1),
e portanto
dr=(0,-1),dt
Substituindo x=0 e y=-t em F(x,y), temos
F(r(t)) = (3+2cdot 0 cdot(-t))i + (0^2 -3(-t)^2)j = 3,i -3t^2,j

Passo 4

O produto escalar fica
F(r(t))cdot r'(t) = (3,-3t^2)cdot(0,-1) = 3t^2
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integralC1Fcdot dr = integral-1^e^pi 3t^2 ,dt = l[t^3r]-1^e^pi = e^3pi -(-1)^3 = e^3pi + 1

Resposta

e^3pi + 1

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