Calcule integralgamma x^2 d x+y^2 d y+z^2 d z, onde gamma é o segmento de reta orientado de A0=(0,0,0) até A1=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma x^2,dx + y^2,dy + z^2,dz
onde gamma é o segmento de reta de A0=(0,0,0) até A1=(1,1,1).
O conteúdo aqui é integrais de linha de formas diferenciais e o que vamos usar é o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para formas exatas.

Passo 2

Verificamos que a forma
omega = x^2,dx + y^2,dy + z^2,dz
é exata, pois existe uma função potencial
F(x,y,z) = x^33 + y^33 + z^33
tal que dF = omega. De fato,
partial Fpartial x=x^2, partial Fpartial y=y^2, partial Fpartial z=z^2

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha, temos
integralgammaomega = Fl(A1r) - Fl(A0r) = (1^33+1^33+1^33) - 0 = 1

Resposta

1

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