( ) Calcule integralgamma x y d x+(x+y) d y para cada uma das curvas gamma de (0,0) a (1,3). Esboce gamma.
(b) gamma é o segmento de reta de (0,0) a (0,3) e de (0,3) a (1,3)

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha integralgamma x y ,dx + (x+y),dy indo de (0,0) a (1,3). No item (b), a curva gamma é dada por dois segmentos: primeiro de (0,0) a (0,3) e depois de (0,3) a (1,3). Vamos parametrizar cada trecho e somar as contribuições.

Passo 2

No primeiro segmento tomamos x=0, y=t com tin[0,3]. Assim dx=0 e dy=dt. Substituindo na integral:
integralgamma1 x y ,dx + (x+y),dy = integral0^3 l(0cdot tcdot0 + (0+t)cdot1r),dt = integral0^3 t,dt

Passo 3

Calculando essa integral:
integral0^3 t,dt = [tfrac12t^2]0^3 = tfrac92

Passo 4

No segundo segmento parametrizamos x=s, y=3 com sin[0,1]. Então dx=ds e dy=0. A integral fica
integralgamma2 x y ,dx + (x+y),dy = integral0^1 (scdot3),ds = 3integral0^1s,ds = 3cdottfrac12 = tfrac32

Passo 5

Somando as duas partes:
tfrac92 + tfrac32 = tfrac122 = 6

Resposta

6

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