Encontre o valor da integral de g(z) sobre a curva fechada simples |z-j|=2, orientada no sentido antihorário quando,
g(z)=1(z^2+4)^2

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a integral de contorno oint|z - j| = 2 g(z),dz, com g(z)=1/(z^2+4)^2. O assunto aqui é integração em variável complexa usando o Teorema dos Resíduos. Para resolver vamos precisar: encontrar os polos de g(z), ver quais estão dentro do círculo |z - i|=2, calcular o resíduo do polo interno (que é de ordem 2) e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro identificamos os polos de g(z). Eles vêm de z^2+4=0, isto é, z=2i e z=-2i. Agora determinamos quais desses polos estão dentro do círculo de centro i e raio 2: calculamos |2i - i|=1<2, logo 2i está dentro; e |-2i - i|=3>2, logo -2i está fora.

Passo 3

Como o polo em z=2i é de ordem 2, usamos a fórmula de resíduo para polo de segunda ordem:
Resl(g,2ir)=limzto2iddzl[(z-2i)^2,g(z)r]

Passo 4

Reescrevendo (z-2i)^2g(z)=1/(z+2i)^2, derivamos e avaliamos em z=2i:

Passo 5

Finalmente, pelo Teorema dos Resíduos a integral é 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Só temos Res(g,2i)=-i/32, então
oint|z-i|=2g(z),dz=2pi il(-tfraci32r)=pi16

Resposta

pi16

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