Encontre o valor da integral de
sobre a curva fechada simples
, orientada no sentido antihorário quando,
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a integral de contorno
, com
. O assunto aqui é integração em variável complexa usando o Teorema dos Resíduos. Para resolver vamos precisar: encontrar os polos de
, ver quais estão dentro do círculo
, calcular o resíduo do polo interno (que é de ordem 2) e aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro identificamos os polos de
. Eles vêm de
, isto é,
e
. Agora determinamos quais desses polos estão dentro do círculo de centro
e raio
: calculamos
, logo
está dentro; e
, logo
está fora.
Passo 3
Como o polo em
é de ordem 2, usamos a fórmula de resíduo para polo de segunda ordem:
Passo 4
Reescrevendo
, derivamos e avaliamos em
:
Passo 5
Finalmente, pelo Teorema dos Resíduos a integral é
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno. Só temos
, então