Calcule
onde
é o gráfico de
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
sobre a curva dada por
indo do ponto
a
. O conteúdo relevante é o de integrais de linha de campos vetoriais em
, e vamos precisar parametrizar a curva, calcular
e
e usar a definição de integral de linha.
Passo 2
Para resolver uma integral de linha de um campo vetorial
sobre uma curva
, usamos uma parametrização
e a definição
$$\n\int_\gamma P,dx + Q,dy
= \int_a^b \bigl(P(x(t),y(t)),x’(t) + Q(x(t),y(t)),y’(t)\bigr),dt.
x(t)=t^{3},\quad y(t)=t,\quad t\in[0,1],$$
de onde
Passo 3
Substituindo em
e
obtemos
Passo 4
Assim a integral vira
Calculando:
$$\int_{0}{1}3t{6},dt = 3\cdot\frac{1}{7}=\frac{3}{7},
\quad
\int_{0}{1}t{9},dt = \frac{1}{10},$$
Passo 5
logo o valor total é
.