Calcule integralgamma x y d x+x^2 y^3 d y onde gamma é o gráfico de y^3=x de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgamma x y,dx + x^2y^3,dy sobre a curva dada por y^3=x indo do ponto (0,0) a (1,1). O conteúdo relevante é o de integrais de linha de campos vetoriais em R^2, e vamos precisar parametrizar a curva, calcular dx e dy e usar a definição de integral de linha.

Passo 2

Para resolver uma integral de linha de um campo vetorial F=(P,Q) sobre uma curva gamma, usamos uma parametrização gamma(t)=(x(t),y(t)) e a definição
$$\n\int_\gamma P,dx + Q,dy
= \int_a^b \bigl(P(x(t),y(t)),x’(t) + Q(x(t),y(t)),y’(t)\bigr),dt. nintegralgamma P,dx + Q,dy = integrala^b l(P(x(t),y(t)),x'(t) + Q(x(t),y(t)),y'(t)r),dtãx(t)=t^{3},\quad y(t)=t,\quad t\in[0,1],$$
de onde
t=y

Passo 3

Substituindo em P(x,y)=xy e Q(x,y)=x^2y^3 obtemos
P(x(t),y(t)),x'(t) + Q(x(t),y(t)),y'(t) = (t^3cdot t)cdot(3t^2) + l((t^3)^2cdot t^3r)cdot1 =3t^6 + t^9

Passo 4

Assim a integral vira
integral0^1l(3t^6 + t^9r),dt
Calculando:
$$\int_{0}{1}3t{6},dt = 3\cdot\frac{1}{7}=\frac{3}{7},
\quad
\int_{0}{1}t{9},dt = \frac{1}{10},$$

Passo 5

logo o valor total é 37+110=3770.

Resposta

3770

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