( ) Calcule integralgamma x y d x+(x+y) d y para cada uma das curvas gamma de (0,0) a (1,3). Esboce gamma.
© gamma é o segmento de reta de (0,0) a (1,3)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: queremos calcular a integral de linha da 1-forma omega = xy,dx + (x+y),dy ao longo do segmento de reta de (0,0) a (1,3). O conteúdo aqui é integral de linha de formas diferenciais, e vamos precisar parametrizar a curva, obter dx e dy, substituir na forma e integrar.

Passo 2

Parametrização da curva: como é um segmento de reta ligando (0,0) a (1,3), podemos usar x(t)=t, y(t)=3t, 0<= t<=1 Daí dx=dt e dy=3,dt. O esboço é a reta y=3x de x=0 até x=1.

Passo 3

Substituição na 1-forma: temos x=t e y=3t, então
xy,dx + (x+y),dy = (tcdot3t),dt + (t+3t)cdot3,dt = 3t^2,dt + 3cdot4t,dt = 3t^2 +12t,

Passo 4

Cálculo da integral: agora integramos de t=0 a t=1:
integral0^1l(3t^2 + 12tr),dt = l[t^3 +6t^2r]0^1 = 1 +6 = 7

Resposta

7

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