Calcule:
(1,5) O momento de inércia de uma fio retilíneo, homogêneo, de comprimento L, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o momento de inércia de um fio retilíneo e homogêneo de comprimento L em torno de um eixo perpendicular ao fio e que passa por uma de suas extremidades. Estamos trabalhando com conceitos de Física, especificamente de Mecânica, e vamos precisar usar a definição de momento de inércia e integrar ao longo do comprimento do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia ( I) é uma medida de quanta dificuldade temos para mudar o estado de rotação de um objeto em relação a um eixo. Para um fio retilíneo e homogêneo, a massa está distribuída de maneira uniforme ao longo do seu comprimento.

Passo 3

Para calcular o momento de inércia, usamos a fórmula geral:
I = integral r^2 , dm
onde r é a distância de um elemento de massa dm ao eixo de rotação.

Passo 4

Como o fio é homogêneo, a massa por unidade de comprimento é constante. Vamos chamar essa constante de densidade linear de massa lambda, onde:
lambda = ML
sendo M a massa total do fio e L o comprimento.

Passo 5

Expressamos dm em termos de lambda e um diferencial de comprimento dx:
dm = lambda , dx

Passo 6

Substituímos dm na integral do momento de inércia:
I = integral r^2 , lambda , dx
Aqui, r é a distância de cada elemento dx ao eixo de rotação. Se considerarmos o eixo em uma das extremidades do fio, então r = x, onde x varia de 0 a L.

Passo 7

Substituindo r por x e dm por lambda , dx, temos:
I = lambda integral0^L x^2 , dx

Passo 8

Resolvemos a integral:
integral0^L x^2 , dx = [ x^33 ]0^L = L^33

Passo 9

Substituímos de volta na expressão do momento de inércia:
I = lambda cdot L^33

Passo 10

Lembrando que lambda = ML, substituímos:
I = ML cdot L^33 = M L^23

Resposta

O momento de inércia do fio em torno do eixo especificado é I = M L^23.

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