Calcule:
O momento de inércia de uma fio retilíneo, homogêneo, de comprimento
, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o momento de inércia de um fio retilíneo e homogêneo de comprimento
em torno de um eixo perpendicular ao fio e que passa por uma de suas extremidades. Estamos trabalhando com conceitos de Física, especificamente de Mecânica, e vamos precisar usar a definição de momento de inércia e integrar ao longo do comprimento do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia (
) é uma medida de quanta dificuldade temos para mudar o estado de rotação de um objeto em relação a um eixo. Para um fio retilíneo e homogêneo, a massa está distribuída de maneira uniforme ao longo do seu comprimento.
Passo 3
Para calcular o momento de inércia, usamos a fórmula geral:
onde
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 4
Como o fio é homogêneo, a massa por unidade de comprimento é constante. Vamos chamar essa constante de densidade linear de massa
, onde:
sendo
a massa total do fio e
o comprimento.
Passo 5
Expressamos
em termos de
e um diferencial de comprimento
:
Passo 6
Substituímos
na integral do momento de inércia:
Aqui,
é a distância de cada elemento
ao eixo de rotação. Se considerarmos o eixo em uma das extremidades do fio, então
, onde
varia de
a
.
Passo 7
Substituindo
por
e
por
, temos:
Passo 8
Resolvemos a integral:
Passo 9
Substituímos de volta na expressão do momento de inércia:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos:
Resposta
O momento de inércia do fio em torno do eixo especificado é
.