Calcule integralgamma(x-y) d x+x d y onde gamma é o gráfico de y^2=x de (4,-2) a (4,2).

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha (x - y),dx + x,dy ao longo da curva gamma dada por y^2 = x, indo de (4,-2) até (4,2). Isso faz parte do conteúdo de integrais de linha de formas diferenciais e vamos precisar parametrizar a curva e usar dx e dy.

Passo 2

Para parametrizar gamma, percebemos que x = y^2. Então basta tomar y = t e x = t^2. Como o ponto inicial é (4,-2), temos t = -2, e o ponto final (4,2) corresponde a t = 2. Logo definimos
x(t) = t^2, y(t) = t, t in [-2,2]

Passo 3

Agora calculamos as diferenciais:
dx = x'(t),dt = 2t,dt,
dy = y'(t),dt = 1,dt

Passo 4

Substituindo na forma (x - y),dx + x,dy, obtemos
(x - y),dx + x,dy = (t^2 - t)cdot(2t,dt) + t^2,dt = (2t^3 - 2t^2 + t^2),dt = (2t^3 - t^2),dt
Portanto a integral vira
integralgamma(x - y),dx + x,dy = integral-2^2 (2t^3 - t^2),dt

Passo 5

Basta agora integrar e avaliar nos limites:
integral-2^2 (2t^3 - t^2),dt = l[2t^44 - t^33r]-2^2 = l[t^42 - t^33r]-2^2
Calculando em t=2 temos 8 - 8/3 = 16/3 e em t=-2 temos 8 + 8/3 = 32/3. Fazendo a diferença, obtemos 16/3 - 32/3 = -16/3.

Passo 6

Concluímos que o valor da integral de linha ao longo de gamma é -16/3.

Resposta

-16/3

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