Esboce detalhadamente a região limitada pelas curvas abaixo e calcule sua área.
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Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região limitada por x = –1, x = 1, y = x e y = x³ e calcular sua área; o conteúdo envolvido é área de região pelo método de integrais, usando a integral definida da diferença entre curvas.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos de interseção entre y = x e y = x³ resolvendo x³ = x, ou seja x(x² – 1) = 0, o que dá x = –1, 0 e 1.
Em seguida, determinamos qual curva está acima em cada subintervalo: para x ∈ [–1, 0], temos x³ ≥ x (por exemplo, em x = –½, x³ = –1/8 > –½), logo a função superior é y = x³ e a inferior é y = x. Para x ∈ [0, 1], ocorre x ≥ x³, de modo que a função superior é y = x e a inferior é y = x³.
Em seguida, determinamos qual curva está acima em cada subintervalo: para x ∈ [–1, 0], temos x³ ≥ x (por exemplo, em x = –½, x³ = –1/8 > –½), logo a função superior é y = x³ e a inferior é y = x. Para x ∈ [0, 1], ocorre x ≥ x³, de modo que a função superior é y = x e a inferior é y = x³.
Passo 3
Assim, montamos a integral da diferença entre as curvas nos dois trechos:
Passo 4
Agora, calculamos cada integral. A primitiva de x³ – x é
Passo 5
Avaliamo-la de –1 até 0:
Passo 6
De modo análogo, a primitiva de x – x³ também é
, e de 0 a 1 temos
Passo 7
Por fim, somamos as duas áreas parciais para obter a área total: A = 1/4 + 1/4 = 1/2.