Esboce detalhadamente a região limitada pelas curvas abaixo e calcule sua área.
x=-1, x=1, y=x, y=x^3;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região limitada por x = –1, x = 1, y = x e y = x³ e calcular sua área; o conteúdo envolvido é área de região pelo método de integrais, usando a integral definida da diferença entre curvas.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção entre y = x e y = x³ resolvendo x³ = x, ou seja x(x² – 1) = 0, o que dá x = –1, 0 e 1.
Em seguida, determinamos qual curva está acima em cada subintervalo: para x ∈ [–1, 0], temos x³ ≥ x (por exemplo, em x = –½, x³ = –1/8 > –½), logo a função superior é y = x³ e a inferior é y = x. Para x ∈ [0, 1], ocorre x ≥ x³, de modo que a função superior é y = x e a inferior é y = x³.

Passo 3

Assim, montamos a integral da diferença entre as curvas nos dois trechos:
A = integral-1^0 l(x^3 - xr),dx ;+; integral0^1 l(x - x^3r),dx

Passo 4

Agora, calculamos cada integral. A primitiva de x³ – x é
F(x) = x^44 - x^22

Passo 5

Avaliamo-la de –1 até 0:
integral-1^0 (x^3 - x),dx = l[x^44 - x^22r]-1^0 = l(0 - 0r) - l(14 - 12r) = 14

Passo 6

De modo análogo, a primitiva de x – x³ também é x^22 - x^44, e de 0 a 1 temos
integral0^1 (x - x^3),dx = l[x^22 - x^44r]0^1 = l(12 - 14r) - 0 = 14

Passo 7

Por fim, somamos as duas áreas parciais para obter a área total: A = 1/4 + 1/4 = 1/2.

Resposta

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