Encontre o conjunto solução das equações para s in C.
s+s^2+s^3+s^4+s^5=0

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os complexos s que satisfazem a equação s + s^2 + s^3 + s^4 + s^5 = 0. O conteúdo principal envolve séries geométricas e raízes da unidade em C. Para resolver, vamos usar fatoração e a fórmula de soma de uma PG.

Passo 2

Fatoramos s em evidência:
s + s^2 + s^3 + s^4 + s^5 = s,(1 + s + s^2 + s^3 + s^4) Da expressão acima, a equação só é zero se algum dos fatores for zero. Logo temos dois casos: ou s = 0, ou
1 + s + s^2 + s^3 + s^4 = 0

Passo 3

Para o segundo caso, usamos a soma de uma PG de razão s e 5 termos:
1 + s + s^2 + s^3 + s^4 = s^5 - 1s - 1, s neq 1 Então exigimos s^5 - 1 = 0 e s neq 1. Daí
s^5 = 1e s neq 1

Passo 4

O que dá as raízes 5-ésimas da unidade, exceto 1:
s = e^2pi i k/5, k = 1,2,3,4

Resposta

{0} ∪ {e^{2π i k/5} | k = 1,2,3,4}

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