Calcule as seguintes integrais. Use uma mudança de variáveis se preciso.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla.
Integrais triplas e mudança para coordenadas cilíndricas. Precisamos usar o fato de que o integrando e a região no plano xy são simétricos em torno da origem, então coordenadas
facilitam bastante.
Passo 2
Para usar coordenadas cilíndricas, fazemos
e
, com Jacobiano
. No plano xy a região é o disco
, ou seja
[0\le r\le1,
\0\le\theta\le2\pi.
\0\le\theta\le2\pi.
Passo 3
Em z temos os limites inferiores e superiores dados:
[z;de;r2;\text{até};2-r2.
Passo 4
O integrando fica
[(x2+y2){3/2};=;(r2){3/2}=r3,
e o elemento de volume . Assim a integral vira
[\int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}\int_{r2}{2-r2}r3\cdot r,dz,dr,d\theta
=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}r4\bigl(\int_{r2}{2-r2}dz\bigr)dr,d\theta.
e o elemento de volume
[\int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}\int_{r2}{2-r2}r3\cdot r,dz,dr,d\theta
=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}r4\bigl(\int_{r2}{2-r2}dz\bigr)dr,d\theta.
Passo 5
Fazendo a integral em z:
[\int_{r2}{2-r2}dz=(2-r2)-r2=2-2r2,
logo o integrando em r fica
[r4(2-2r2)=2r4-2r6.
logo o integrando em r fica
[r4(2-2r2)=2r4-2r6.
Passo 6
Agora integramos em r de 0 a 1 e em
de 0 a
:
[\int_{0}{2\pi}d\theta\int_{0}{1}(2r4-2r6)dr
=2\pi\Bigl[2\frac{r5}{5}-2\frac{r7}{7}\Bigr]_{0}^{1}.
=2\pi\Bigl[2\frac{r5}{5}-2\frac{r7}{7}\Bigr]_{0}^{1}.
Passo 7
Substituindo os limites em r dá
[2\pi\Bigl(2\frac{1}{5}-2\frac{1}{7}\Bigr)=2\pi\Bigl(\frac{2}{5}-\frac{2}{7}\Bigr)
=2\pi\frac{14-10}{35}=2\pi\frac{4}{35}=\frac{8\pi}{35}.
=2\pi\frac{14-10}{35}=2\pi\frac{4}{35}=\frac{8\pi}{35}.