Calcule integralgamma(2-y) d x+x d y onde gamma(t)=(t-sin t, 1-cos t), t in[0,2 pi]
Escolha uma opção:
  • 2 pi
    pi
    ○ 0
  • -2 pi
  • -pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgamma(2-y),dx + x,dy sobre a curva parametrizada por gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-sin t,,1-cos t), com tin[0,2pi]. O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial e vamos precisar usar a parametrização para obter dx e dy e, então, calcular integrala^b l[P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)r]dt.

Passo 2

Derivamos x(t)=t-sin t e y(t)=1-cos t para obter
dx = x'(t),dt = (1-cos t),dt,
dy = y'(t),dt = (sin t),dt

Passo 3

Substituímos na integral:
(2-y),dx + x,dy = l(2-(1-cos t)r)(1-cos t),dt + (t-sin t)(sin t),dt
Simplificando,
(1+cos t)(1-cos t) + (t-sin t)sin t = (1-cos^2 t) + tsin t - sin^2 t = tsin t

Passo 4

Agora a integral vira
integral0^2pi tsin t,dt
Fazemos integração por partes: seja u=t, dv=sin t,dt, então du=dt, v=-cos t. Logo
integral tsin t,dt = -tcos t + sin t

Passo 5

Avaliando de 0 a 2pi:
[-tcos t + sin t]0^2pi = l(-2picdot1 + 0r) - (0+0) = -2pi

Resposta

-2\pi

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