A função sinal de é definida por:
Verifique se f(x)=sgn(x) e g(x)=x sgn(x) são funções contínuas.
Passo 1
O enunciado define duas funções: f(x)=sgn(x) e g(x)=x,sgn(x). O conteúdo é continuidade de funções, e vamos usar a definição de continuidade em um ponto, isto é, verificar se limxto ah(x)=h(a) para todo a.
Passo 2
Vamos analisar f(x)=sgn(x) em pontos xneq0. Para x>0, f(x)=1 (constante) e para x<0, f(x)=-1 (constante). Como funções constantes são contínuas, f é contínua para todo xneq0.
Passo 3
Agora analisamos a continuidade de f em x=0. Calculamos os limites laterais: limxto0^+sgn(x)=1 limxto0^-sgn(x)=-1
Como os limites à direita e à esquerda não coincidem (nem coincidem com f(0)=0), concluímos que f é descontínua em x=0.
Passo 4
Passamos para g(x)=x,sgn(x). Note que g(x)=x,&x>0,0,&x=0, -x,&x<0,
que é exatamente g(x)=|x|.
Passo 5
Sabemos que a função valor absoluto |x| é contínua em todo R, pois para qualquer a vale limxto a|x|=|a|. Logo, g é contínua em todo R.
Resposta
A função f(x)=sgn(x) é contínua em todos os pontos xneq0 e descontínua em x=0. A função g(x)=x,sgn(x) (que equivale a |x|) é contínua em todo R.