A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada e, é definida por:
H(t)=lll 0 & se & t<0 1 & se & t >= 0
a) Discuta a contínuidade de f(t)=H(t^2+1) e de g(t)=H(sen(pi t)). Esboce os respectivos gráficos em [-5,5].

Passo 1

O enunciado pede discutir a continuidade de duas funções que envolvem a função de Heaviside, definidas por
H(t)=0,&t<0,1,&t>=0,
e esboçar seus gráficos no intervalo [-5,5]. Vamos aplicar propriedades de sinais e de continuidade.

Passo 2

Para f(t)=H(t^2+1), observe que t^2+1 é sempre maior que zero para todo tinR. Logo, o argumento de H nunca é negativo, isto é, t^2+1>0 implica
H(t^2+1)=1,forall t
Assim, f(t) é a função constante igual a 1 em todo R e, portanto, contínua em todo lugar.

Passo 3

Para g(t)=H(\sin(\pi t)), use que sin(pi t)=0 se e somente se t é inteiro, muda de sinal entre inteiros, e em pontos onde o argumento de H é zero temos H(0)=1. Mais precisamente,
  • Se sin(pi t)>0, isto é, em (2k,2k+1), então g(t)=1
  • Se sin(pi t)<0, isto é, em (2k+1,2k+2), então g(t)=0
  • Em cada inteiro n, sin(pi n)=0 e portanto g(n)=1

Passo 4

Para a continuidade de g, note que onde sin(pi t)neq0 (i.e. fora dos inteiros) a função é constante em cada intervalo aberto e, portanto, contínua internamente. Em cada inteiro n há salto porque
limtto n^-g(t)neqlimtto n^+g(t),
logo g é descontínua em todos os inteiros e contínua em RsetminusZ.

Passo 5

Esboço dos gráficos em [-5,5]:
  • f(t): reta horizontal em y=1.
  • g(t): “onda quadrada” de período 2, assumindo valor 1 em cada intervalo [2k,2k+1] (inclusive nos inteiros) e valor 0 em (2k+1,2k+2). Romance os saltos em cada inteiro.

Resposta

f(t)=1 para todo t∈[−5,5], contínua em ℝ. g(t)=1 em [2k,2k+1], g(t)=0 em (2k+1,2k+2) com k∈ℤ; descontínua em cada inteiro e contínua fora de ℤ. Gráficos: f é reta y=1; g é onda quadrada alternando níveis 1 e 0, com saltos nos inteiros.

Exercícios relacionados