A função de Heaviside é utilizada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento de corrente elétrica ou de voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada e, é definida por:
a) Discuta a contínuidade de
e de
. Esboce os respectivos gráficos em
.
Passo 1
O enunciado pede discutir a continuidade de duas funções que envolvem a função de Heaviside, definidas por
e esboçar seus gráficos no intervalo [-5,5]. Vamos aplicar propriedades de sinais e de continuidade.
Passo 2
Para f(t)=H(t^2+1), observe que
é sempre maior que zero para todo
. Logo, o argumento de H nunca é negativo, isto é,
implica
Assim, f(t) é a função constante igual a 1 em todo
Passo 3
Para g(t)=H(\sin(\pi t)), use que
se e somente se
é inteiro, muda de sinal entre inteiros, e em pontos onde o argumento de H é zero temos
. Mais precisamente,
- Se
, isto é, em , então - Se
, isto é, em , então - Em cada inteiro
, e portanto
Passo 4
Para a continuidade de g, note que onde
(i.e. fora dos inteiros) a função é constante em cada intervalo aberto e, portanto, contínua internamente. Em cada inteiro
há salto porque
logo g é descontínua em todos os inteiros e contínua em
Passo 5
Esboço dos gráficos em [-5,5]:
- f(t): reta horizontal em y=1.
- g(t): “onda quadrada” de período 2, assumindo valor 1 em cada intervalo [2k,2k+1] (inclusive nos inteiros) e valor 0 em (2k+1,2k+2). Romance os saltos em cada inteiro.
Resposta
f(t)=1 para todo t∈[−5,5], contínua em ℝ. g(t)=1 em [2k,2k+1], g(t)=0 em (2k+1,2k+2) com k∈ℤ; descontínua em cada inteiro e contínua fora de ℤ. Gráficos: f é reta y=1; g é onda quadrada alternando níveis 1 e 0, com saltos nos inteiros.