Calcule:
integralpi / 4^pi / 3 sec ^2 xtg x d x

Passo 1

A gente precisa calcular integralpi/4^pi/3 sec^2 xtan x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos usar identidades como sec x=1/cos x, tan x=sin x/cos x e a integral conhecida de csc u.

Passo 2

Primeiro, simplifico o integrando:
sec^2 xtan x = 1/cos^2 xsin x/cos x = 1sin xcos x
Como sin(2x)=2sin xcos x, temos
1sin xcos x = 2sin(2x) = 2,csc(2x)

Passo 3

Agora uso a substituição u=2x, de modo que du=2,dx e dx=du/2. Os limites ficam:
quando x=pi4,;u=pi2; quando x=pi3,;u=2pi3
Então a integral vira
integralpi/4^pi/32,csc(2x),dx = integralu=pi/2^u=2pi/3csc u,du

Passo 4

Sabendo que
integralcsc u,du = lnl|tan(tfracu2)r| + C, podemos avaliar de u=pi/2 a u=2pi/3:
l[lnl|tan(tfracu2)r|r]pi/2^2pi/3 = lnl(tan(tfrac2pi/32)r) - lnl(tan(tfracpi/22)r) = lnl(tan(tfracpi3)r) - lnl(tan(tfracpi4)r)

Passo 5

Como tan(pi/3)=raiz3 e tan(pi/4)=1, isso dá
ln(raiz3) - ln(1) = tfrac12ln(3) - 0 = tfrac12ln(3)

Resposta

tfrac12ln(3)

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