Questão
: Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
Passo 1
Beleza! A gente tem que analisar se a série infinita
converge ou diverge. Vamos usar o conteúdo de Séries Infinitas e, mais especificamente, o Teste de Comparação para chegar nessa conclusão. Precisaremos comparar essa série com outra série que a gente já conhece o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando
fica bem grande. Olha só o denominador:
. Quando
é muito grande, o
não faz muita diferença, então podemos aproximar:
Então, a expressão da série fica mais ou menos assim:
Passo 3
A gente lembra que a série
é conhecida como Série Harmônica e ela é divergente, ou seja, sua soma tende ao infinito. Agora, vamos comparar os termos da nossa série com os da Série Harmônica. Observamos que:
Isso significa que cada termo da nossa série é maior ou igual a
.
Passo 4
Aqui entra o Teste de Comparação. Esse teste diz que se os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que diverge (no caso, a Série Harmônica), então a nossa série também diverge. Como mostramos que
e sabemos que
diverge, concluímos que a nossa série também não converge.
Resposta
A série
é divergente.