Questão 1(4,0) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
sumn=1^infty nraiz4 n^4-1

Passo 1

Beleza! A gente tem que analisar se a série infinita sumn=1^infty nraiz4 n^4-1 converge ou diverge. Vamos usar o conteúdo de Séries Infinitas e, mais especificamente, o Teste de Comparação para chegar nessa conclusão. Precisaremos comparar essa série com outra série que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando n fica bem grande. Olha só o denominador: raiz4n^4 -1. Quando n é muito grande, o -1 não faz muita diferença, então podemos aproximar:
raiz4n^4 -1 approx raiz4n^4 = 2n^2
Então, a expressão da série fica mais ou menos assim:
n2n^2 = 12n

Passo 3

A gente lembra que a série sumn=1^infty 1n é conhecida como Série Harmônica e ela é divergente, ou seja, sua soma tende ao infinito. Agora, vamos comparar os termos da nossa série com os da Série Harmônica. Observamos que:
nraiz4n^4 -1 >= 13n para todo n >= 1
Isso significa que cada termo da nossa série é maior ou igual a 13n.

Passo 4

Aqui entra o Teste de Comparação. Esse teste diz que se os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos de uma série que já sabemos que diverge (no caso, a Série Harmônica), então a nossa série também diverge. Como mostramos que nraiz4n^4 -1 >= 13n e sabemos que sumn=1^infty 1n diverge, concluímos que a nossa série também não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty nraiz4 n^4-1 é divergente.

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