Obtenha a derivada da função:
f(y)=sec (y^2+8 y)

Passo 1

Vamos lá! Precisamos encontrar a derivada da função $ f(y) = \sec \left(y^{2} + 8 y \right) $. Isso faz parte do assunto de derivadas, mais especificamente da regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar a função secante e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função secante. A derivada de $ \sec(u) $ em relação a $ u $ é:
sec(u)

Passo 3

Agora, observe que dentro da secante temos uma função composta $ u = y^{2} + 8 y $. Para aplicar a regra da cadeia, precisamos também encontrar a derivada dessa função interna $ u $ em relação a $ y $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ u = y^{2} + 8 y $ em relação a $ y $:
u = y^2 + 8 y

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ f(y) = \sec(u) $ em relação a $ y $ é:
f(y) = sec(u)

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
f'(y) = sec(y^2 + 8 y) tan(y^2 + 8 y) cdot (2 y + 8)

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