Calcule:
integralpi / 3^pi / 2 sen x(1-cos ^2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralpi/3^pi/2 sen xl(1-cos^2xr),dx
Este é um problema de integração de função trigonométrica, em que vamos usar a identidade pitagórica e uma substituição simples para resolver.

Passo 2

Usamos a identidade
1-cos^2x=sen^2x,
logo a integral fica
integralpi/3^pi/2sen xl(1-cos^2xr),dx =integralpi/3^pi/2sen xcdotsen^2x,dx =integralpi/3^pi/2sen^3x,dx

Passo 3

Para integrar sen^3x, fazemos a substituição
u=cos x, du=-sen x,dx Longrightarrow sen x,dx=-du
Reescrevendo a integral em u:
integral sen^3x,dx =integral sen xl(sen^2xr),dx =integral sen xl(1-cos^2xr),dx =integral -(1-u^2),du =integral (u^2-1),du

Passo 4

Calculamos a integral em u:
integral (u^2-1),du =u^33-u + C

Passo 5

Voltando a x pela substituição u=cos x, encontramos a primitiva
F(x)=cos^3x3-cos x

Passo 6

Agora avaliamos de pi/3 a pi/2:
integralpi/3^pi/2sen x(1-cos^2x),dx =Fl(tfracpi2r)-Fl(tfracpi3r)
Temos
Fl(tfracpi2r) =cos^3(pi/2)3-cos(pi/2) =0-0=0,
Fl(tfracpi3r) =cos^3(pi/3)3-cos(pi/3) =(1/2)^33-12 =124-12 =-1124
Portanto
integralpi/3^pi/2sen x(1-cos^2x),dx =0-l(-tfrac1124r) =1124

Resposta

1124

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