Calcule as seguintes integrais duplas:
(a)
integral duplaR(2 y^2-3 x y^3) d x d y, onde R=(x, y): 1 <= x <= 2,0 <= y <= 3.
Resp. (a) -5858.
(b) integral duplaR x sin y d x d y, onde R=(x, y): 1 <= x <= 4,0 <= y <= pi6.
Resp. (b) 154(2-raiz3).
(c) integral duplaR 1x+y d x d y, onde R=[1,2] times[0,1].
Resp. (c) ln 2716.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais duplas em regiões retangulares usando o Teorema de Fubini e integração iterada em x e y.

Passo 2

Parte (a): integrar primeiro em x.
integral1^2(2y^2 - 3x y^3),dx =2y^2integral1^2dx ;-;3y^3integral1^2x,dx =2y^2(2-1);-;3y^32^2-1^22 =2y^2 ;-;92y^3

Passo 3

Continuar (a) integrando em y:
integral0^3l(2y^2 -tfrac92y^3r)dy =2y^33|0^3 ;-;92y^44|0^3 =2cdot9 ;-;92cdot814 =18 - 7298 =-5858

Passo 4

Parte (b): separar variáveis e integrar em x:
integral1^4x,dx =x^22|1^4 =16-12 =152,
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integral duplaR xsin y,dx,dy =integral0^pi/6sin yl(tfrac152r)dy =152integral0^pi/6sin y,dy

Passo 5

Prosseguir (b) integrando em y:
152[-cos y]0^pi/6 =152l(-cos(tfracpi6)+cos0r) =152l(-tfracraiz32+1r) =154(2-raiz3)

Passo 6

Parte (c): integrar primeiro em y:
integral0^11x+y,dy =[ln(x+y)]0^1 =ln(x+1)-ln x =ln!x+1x

Passo 7

Em seguida integrar em x:
integral1^2ln!x+1x,dx =integral1^2ln(x+1),dx -integral1^2ln x,dx
Usando integralln u,du = uln u -u:
integral1^2ln(x+1),dx =[uln u -u]2^3 =3ln3-3-(2ln2-2) =3ln3-2ln2-1,
integral1^2ln x,dx =[xln x -x]1^2 =2ln2-2-(0-1) =2ln2-1,
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integral1^2ln!x+1x,dx =3ln3-2ln2-1 - (2ln2-1) =3ln3-4ln2 =ln2716

Resposta

(a) -tfrac5858
(b) tfrac154(2-raiz3)
(c) ln2716

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