Calcule integralraiz3^raiz3 / 3 arccotg x1+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de dividido por , no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral que seja uma boa candidata para a substituição. Observamos que temos e o denominador . Sabemos que a derivada de é . Isso sugere que podemos fazer uma substituição onde .

Passo 3

Vamos definir dudx = -11 + x^2 . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos substituir na integral original:
integralraiz3^raiz33 arccot(x)1 + x^2 dx = integralu(raiz3)^u(raiz33) u cdot (-du)
Simplificando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 5

A integral fica então:
- integralpi6^pi3 u , du = integralpi3^pi6 u , du
Agora, vamos integrar integral u , du = u^22 em relação a :

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
u^22 g|pi3^pi6 = (pi6)^22 - (pi3)^22 = pi^272 - pi^218
Simplificando:
pi^272 - 4pi^272 = -3pi^272 = -pi^224

Resposta

O valor da integral é .

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