Considere a função f(x)=12 x^2 e integral-3^-1 f(x) d x. Verifique se integral corresponde a uma área?
Calcule a área da integral definida usando as somas de Riemann (justifique as etapas do cálculo).

Passo 1

O exercício pede para calcular integral-3^-1 12 x^2 , dx usando somas de Riemann e verificar se esse valor corresponde à área sob a curva de f(x)=12 x^2 no intervalo [-3,-1]. Vamos usar conteúdo de integral definida e somas de Riemann.

Passo 2

Dividimos o intervalo [-3,-1] em n subintervalos de largura:
De
Escolhemos os pontos na extremidade direita de cada subintervalo:
xi = -3 + i,De
A soma de Riemann fica:
Sn = sumi=1^n f(xi),De

Passo 3

Calculamos xi^2 e a soma de xi^2:
xi^2 = l(-3 + 2inr)^2 = 9 - 12in + 4i^2n^2
Assim
sumi=1^n xi^2 = 9n - 12n sumi=1^n i + 4n^2 sumi=1^n i^2
Usamos as fórmulas
sumi=1^n i = tfracn(n+1)2 e
sumi=1^n i^2 = tfracn(n+1)(2n+1)6
para obter
sumi=1^n xi^2 = 3n - 6 + 4n^2 + 6n + 23n

Passo 4

Substituímos em Sn e calculamos o limite:
Sn = De
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limntoinfty Sn = tfrac133.

Passo 5

Como f(x)=12 x^2>=0 em [-3,-1], a integral representa a área sob a curva, que é tfrac133.

Resposta

Sim, a integral corresponde à área sob a curva e seu valor é tfrac133.

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