Considere a função F(x)=arctg(ln 2 x). Calcule F(x) e determine integral F^prime(x) d x.

Passo 1

O enunciado dá a função F(x)=arctg(ln(2x)). O conteúdo aqui é derivada de função composta e integral indefinida de uma derivada. Vamos usar a regra da cadeia, sabendo que a derivada de arctan(u) é 1/(1+u^2) e a derivada de ln(2x) é 1/x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia: seja u=ln(2x). Então F(x)=arctan(u), de modo que
F'(x)=ddxl(arctan(u)r)=11+u^2cdotdudx
Como du/dx=ddxln(2x)=1/x, obtemos
F'(x)=11+(ln(2x))^2cdot1x=1xl(1+(ln(2x))^2r)

Passo 3

Para calcular a integral indefinida de F'(x), note que estamos de volta à própria F(x). De fato,
integral F'(x),dx=F(x)+C=arctan(ln(2x))+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

F'(x)=1xl(1+(ln(2x))^2r),integral F'(x),dx=arctan(ln(2x))+C

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