Calcule o comprimento das curvas
alpha(t)=(cos (t), sin (t)), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento da curva paramétrica alpha(t)=(cos t,sin t) para t variando de 0 a 2pi. Isso faz parte do conteúdo de curvas em R^2 e vamos usar a fórmula de comprimento de curva paramétrica, que exige calcular a derivada, a norma da velocidade e integrar.

Passo 2

Para começar, lembramos a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica alpha(t)=(x(t),y(t)), dada por
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de alpha(t). Como x(t)=cos t e y(t)=sin t, temos
x'(t)=-sin t,
y'(t)=cos t

Passo 4

Em seguida, determinamos a velocidade (norma do vetor derivada):
lVertalpha'(t)rVert=raiz(-sin t)^2+(cos t)^2= raizsin^2t+cos^2t=1

Passo 5

Por fim, substituímos na fórmula do comprimento e integramos de 0 a 2pi:
L=integral0^2pi1,dt=2pi

Resposta

O comprimento da curva alpha(t) para tin[0,2pi] é 2pi.

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