Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(c) y^prime=(2-e^x) /(3+2 y), y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y' = 2 - e^x3 + 2y, y(0)=0
Isso é uma equação diferencial separável: para resolver, vamos separar as variáveis y e x, integrar, aplicar a condição inicial e isolar y.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (3+2y),dx:
(3 + 2y),dy = (2 - e^x),dx

Passo 3

Integre os dois lados:
integral (3 + 2y),dy = integral (2 - e^x),dx
No lado esquerdo
integral 3,dy + integral 2y,dy = 3y + y^2,
e no direito
integral 2,dx - integral e^x,dx = 2x - e^x + C
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y^2 + 3y = 2x - e^x + C

Passo 4

Use y(0)=0 para achar C:
0^2 + 3cdot0 = 2cdot0 - e^0 + C ;Longrightarrow; 0 = 0 - 1 + C ;Longrightarrow; C = 1
Assim a relação fica
y^2 + 3y = 2x - e^x + 1

Passo 5

Isole y resolvendo a quadrática
y^2 + 3y - l(2x - e^x + 1r)=0
Pela fórmula de Bhaskara,
y = -3 pm raiz3^2 + 4,(2x - e^x + 1)2 = -3 pm raiz9 + 8x -4e^x +42 = -3 pm raiz13 +8x -4e^x2
Para x=0 temos raiz13 +0 -4=3, e só o sinal + y(0)=0.

Resposta

boxedy(x) = -3 + raiz13 + 8x - 4e^x2

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