Calcule integralS f d S, onde:
f(x, y, z)=z^2 e S é parte do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede o integral de superfície de uma função escalar sobre o cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=4. O conteúdo usado é parametrização de superfície e cálculo de área elementar via o vetor normal. Vamos parametrizar o cone em coordenadas cilíndricas e usar
integral duplaSf,dS ;=;integral duplaDfl( r(u,v)r),llVert rutimes rvrrVert,du,dv

Passo 2

Parametrizamos o cone por
r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;rr),
onde r varia de 1 a 4 (correspondendo a z de 1 a 4) e theta de 0 a 2pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o módulo do produto vetorial:
rr = (costheta,;sintheta,;1), rtheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0),
rrtimes rtheta = (-rcostheta,;-rsintheta,;r),
llVert rrtimes rthetarrVert = raizr^2cos^2theta +r^2sin^2theta +r^2 = rraiz2
Logo dS = rraiz2,dr,dtheta.

Passo 4

Na superfície z=r, a função vale f=z^2=r^2. Assim
integral duplaSz^2,dS = integraltheta=0^2pi!integralr=1^4r^2,(rraiz2),dr,dtheta = raiz2integral0^2pidthetaintegral1^4r^3,dr
Calculando:
integral1^4r^3,dr = l[tfracr^44r]1^4 = 4^4-14 = 2554,
integral duplaSz^2,dS = raiz2,(2pi),2554 = 2552,piraiz2

Resposta

integral duplaSf,dS = 2552,piraiz2

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