Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
Passo 1
O enunciado apresenta a série de potência centrada em
Queremos determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência, testando também os pontos finais.
Passo 2
Usamos o teste da razão para achar . Seja
Calculamos
Pelo teste da razão, a série converge se
L;l|x+3r|<1 Longrightarrow |x+3|<1,
logo o raio de convergência é
R=1
Passo 3
Na região |x+3|<1 a série converge absolutamente. Em termos de x, isso é
-1< x+3<1 Long<=ftrightarrow -4< x< -2
Passo 4
No extremo x=-2 temos x+3=1 e a série fica
sumn=1^infty12n+14cdot 1^n =sumn=1^infty12n+14
Como 12n+14sim12n, esta é uma série harmônica divergente. Portanto a série diverge em x=-2.
Passo 5
No extremo x=-4 temos x+3=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^n2n+14
Os termos bn=12n+14 são positivos, tendem a zero quando ntoinfty e são monotonicamente decrescentes para n grande. Pelo critério de Leibniz a série alternante converge. Como sum bn diverge, essa convergência é condicional.
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: l[-4,-2r), com convergência condicional em x=-4 e divergência em x=-2.