Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
sumn=1^infty 12 n+14(x+3)^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potência centrada em x0=-3
sumn=1^infty 12n+14,(x+3)^n
Queremos determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência, testando também os pontos finais.

Passo 2

Usamos o teste da razão para achar R. Seja
an=12n+14
Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty2n+142n+16=1
Pelo teste da razão, a série converge se
L;l|x+3r|<1 Longrightarrow |x+3|<1,
logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Na região |x+3|<1 a série converge absolutamente. Em termos de x, isso é
-1< x+3<1 Long<=ftrightarrow -4< x< -2

Passo 4

No extremo x=-2 temos x+3=1 e a série fica
sumn=1^infty12n+14cdot 1^n =sumn=1^infty12n+14
Como 12n+14sim12n, esta é uma série harmônica divergente. Portanto a série diverge em x=-2.

Passo 5

No extremo x=-4 temos x+3=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^n2n+14
Os termos bn=12n+14 são positivos, tendem a zero quando ntoinfty e são monotonicamente decrescentes para n grande. Pelo critério de Leibniz a série alternante converge. Como sum bn diverge, essa convergência é condicional.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: l[-4,-2r), com convergência condicional em x=-4 e divergência em x=-2.

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