integral sec ^8 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sec^8 x,dx. O conteúdo principal aqui é usar uma fórmula de redução (recorrência) para integrais da forma integral sec^n x,dx, que nos permite diminuir sucessivamente a potência de sec x até chegar a integralsec^2 x,dx, cuja primitiva é tan x.

Passo 2

A fórmula de redução obtida por integração por partes com u=sec^n-2x e dv=sec^2x,dx é
integral sec^n x,dx = sec^n-2x,tan xn-1 ;+;n-2n-1integral sec^n-2x,dx

Passo 3

Definindo
I8 = integral sec^8 x,dx,
aplicamos a fórmula com n=8:
I8 = sec^6 x,tan x7 ;+;67integral sec^6 x,dx = sec^6 x,tan x7 + 67I6

Passo 4

Para
I6 = integral sec^6 x,dx
usamos a mesma fórmula com n=6:
I6 = sec^4 x,tan x5 ;+;45integral sec^4 x,dx = sec^4 x,tan x5 + 45I4

Passo 5

Para
I4 = integral sec^4 x,dx
aplicamos a fórmula com n=4:
I4 = sec^2 x,tan x3 ;+;23integral sec^2 x,dx = sec^2 x,tan x3 + 23tan x,
pois integral sec^2 x,dx=tan x.

Passo 6

Voltando em cadeia, substituímos I4 em I6 e depois I6 em I8. O resultado simplificado é:
I6 = sec^4 x,tan x5 + 45l(sec^2 x,tan x3+23tan xr) = sec^4 x,tan x5 + 4sec^2 x,tan x15 + 8tan x15,
I8 = sec^6 x,tan x7 + 67l(sec^4 x,tan x5 + 4sec^2 x,tan x15 + 8tan x15r) = sec^6 x,tan x7 + 6sec^4 x,tan x35 + 8sec^2 x,tan x35 + 16tan x35

Resposta

integral sec^8 x,dx = sec^6 x,tan x7 + 6sec^4 x,tan x35 + 8sec^2 x,tan x35 + 16tan x35 + C

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