Exercício 6 (ELJ 44)
Dê o maior subconjunto de
R^2 onde f é de classe C^1 mas não é de classe C^2 :
f(x, y)=x raizx^2+y^4.

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de R^2 em que
  1. f(x,y)=xraizx^2+y^4 é de classe C^1, e
  2. f não é de classe C^2.
    Para isso vamos estudar primeiro onde as derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas, e depois ver onde as segundas derivadas falham.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^4>0, de modo que a função
f(x,y)=x,(x^2+y^4)^1/2
é composição de funções suaves em aberto, logo é C^infty em R^2setminus(0,0). Em particular é C^1 e também C^2 fora da origem.

Passo 3

Vamos agora estudar a origem. Primeiro as derivadas parciais em (0,0). Por definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0hraizh^2h =limhto0|h|=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00k=0
Logo partialxf(0,0)=partialyf(0,0)=0.

Passo 4

Verificamos agora a continuidade dessas parciais em (0,0). Para (x,y)neq(0,0) obtemos por cálculo direto
fx(x,y)=2x^2+y^4raizx^2+y^4, fy(x,y)=2x,y^3raizx^2+y^4
Se (x,y)to(0,0), tanto 2x^2+y^4raizx^2+y^4to0 quanto 2x,y^3raizx^2+y^4to0. Como em (0,0) os dois valem zero, as parciais são contínuas aí. Concluímos que fin C^1(R^2).

Passo 5

Para ser de classe C^2 em (0,0) seria preciso que todas as segundas derivadas existissem e fossem contínuas lá. Vamos verificar, por exemplo,
fxx(0,0) =limhto0fx(h,0)-fx(0,0)h =limhto02h^2|h|-0h =limhto02h^2|h|,h
Se h>0, isso vale 2; se h<0, vale -2. Como os limites lateral esquerdo e direito não coincidem, fxx(0,0) não existe. Logo f não é C^2 em (0,0).

Resposta

O maior subconjunto de R^2 em que f é C^1 mas não é C^2 é todo R^2, já que
  • em R^2setminus(0,0) a função é C^infty, e
  • em (0,0) ela ainda é C^1 porém falha em ser C^2.

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