Exercício 6 (ELJ 44)
Dê o maior subconjunto de
onde
é de classe
mas não é de classe
:
.
Dê o maior subconjunto de
Passo 1
O enunciado pede o maior subconjunto de
em que
-
é de classe , e -
não é de classe .
Para isso vamos estudar primeiro onde as derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas, e depois ver onde as segundas derivadas falham.
Passo 2
Para
temos
, de modo que a função
é composição de funções suaves em aberto, logo é
em
. Em particular é
e também
fora da origem.
Passo 3
Vamos agora estudar a origem. Primeiro as derivadas parciais em
. Por definição,
Logo
.
Passo 4
Verificamos agora a continuidade dessas parciais em
. Para
obtemos por cálculo direto
Se
, tanto
quanto
. Como em
os dois valem zero, as parciais são contínuas aí. Concluímos que
.
Passo 5
Para ser de classe
em
seria preciso que todas as segundas derivadas existissem e fossem contínuas lá. Vamos verificar, por exemplo,
Se
, isso vale
; se
, vale
. Como os limites lateral esquerdo e direito não coincidem,
não existe. Logo
não é
em
.
Resposta
O maior subconjunto de
em que
é
mas não é
é todo
, já que
- em
a função é , e - em
ela ainda é porém falha em ser .