Calcule integralsigma f(x, y, z) d s:
f(x, y, z)=x+y+z para r(t)=sigma(t)= (sen t, cos t, t), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar f(x,y,z)=x+y+z ao longo da curva sigma(t)= (sin t,cos t,t), tin[0,2pi]. O conteúdo principal é integral de linha de função escalar, em que usamos a parametrização da curva e o fator de alongamento ds=| r,'(t)|,dt.

Passo 2

Primeiro, substituímos a parametrização na função: temos x=sin t, y=cos t, z=t, então
fl( r(t)r)=sin t+cos t+t

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada da parametrização e seu módulo. Derivando
r'(t)=(cos t,,-sin t,,1),
o módulo é
| r'(t)|=raizcos^2t+(-sin t)^2+1^2=raiz2

Passo 4

Agora montamos a integral de linha de função escalar:
integralsigmaf(x,y,z),ds=integral0^2pil(sin t+cos t+tr),l| r'(t)r|,dt=raiz2integral0^2pi(sin t+cos t+t),dt

Passo 5

Para resolver essa integral, dividimos em partes:
integral0^2pisin t,dt=[-cos t]0^2pi=(-1)-(-1)=0,
integral0^2picos t,dt=[sin t]0^2pi=0-0=0,
integral0^2pit,dt=l[tfract^22r]0^2pi=tfrac(2pi)^22=2pi^2

Passo 6

Somando tudo e multiplicando por raiz2, o valor da integral fica
raiz2l(0+0+2pi^2r)=2raiz2,pi^2

Resposta

2\sqrt{2},\pi^2

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