Prove que se
é limitada numa vizinhança de
, então
.
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: Queremos mostrar que, se
e
é limitada numa vizinhança de
, então
. Vamos usar definição
-
de limite e o fato de função limitada.
Passo 2
Identificação da constante de limite para
: Como
é limitada perto de
, existe um raio
e uma constante
tais que para todo
com
vale
. Isso significa que
nunca cresce além de
nessa vizinhança.
Passo 3
Escolha de
em função de
: Seja um
. Como
, existe
tal que, sempre que
, temos
$$
|f(z)-0|=|f(z)|<\frac{\varepsilon}{M}.$$
Passo 4
Estimativa do produto: Agora, tome um
que satisfaça simultaneamente $|z-z_0|<\min(\delta,r)$. Então usamos a desigualdade do módulo de produto:
Passo 5
Conclusão pelo critério
-
: Vimos que para todo
existe um
tal que se
então
. Logo
.