Prove que se f(z) 0 com z z0 e g(z) é limitada numa vizinhança de z0, então f(z) g(z) 0 com z z0.

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: Queremos mostrar que, se limzto z0f(z)=0 e g(z) é limitada numa vizinhança de z0, então limzto z0f(z)g(z)=0. Vamos usar definição varepsilon- de de limite e o fato de função limitada.

Passo 2

Identificação da constante de limite para g: Como g(z) é limitada perto de z0, existe um raio r>0 e uma constante M>0 tais que para todo z com 0<|z-z0| vale |g(z)|<= M. Isso significa que g nunca cresce além de M nessa vizinhança.

Passo 3

Escolha de de em função de varepsilon: Seja um varepsilon>0. Como limzto z0f(z)=0, existe de0 tal que, sempre que 0<|z-z0|, temos
$$
|f(z)-0|=|f(z)|<\frac{\varepsilon}{M}.$$

Passo 4

Estimativa do produto: Agora, tome um z que satisfaça simultaneamente $|z-z_0|<\min(\delta,r)$. Então usamos a desigualdade do módulo de produto:
|z-z0|

Passo 5

Conclusão pelo critério varepsilon- de: Vimos que para todo varepsilon>0 existe um rho=min(de0 tal que se 0<|z-z0| então |f(z)g(z)|. Logo limzto z0f(z)g(z)=0.

Resposta

limzto z0f(z)g(z)=0.

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