Teste de Comparação no Limite: Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos. Se
lim n infty anbn=c
onde c é um número finito e c>0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 16^n-3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty 16^n - 3 usando o Teste de Comparação no Limite (LCT), que é um método para séries de termos positivos.

Passo 2

Definimos an = 16^n - 3 e escolhemos como série-piloto a geométrica bn = 16^n, pois sabemos que séries geométricas com razão menor que 1 convergem.

Passo 3

Calculamos o limite
limn to infty anbn = limn to infty 1/(6^n - 3)1/6^n = limn to infty 6^n6^n - 3 = 1

Passo 4

Como o limite c = 1 é finito e positivo, o LCT nos diz que sum an e sum bn ou ambas convergem ou ambas divergem.

Passo 5

Sabemos que sumn=1^infty bn = sumn=1^infty 16^n é uma série geométrica de razão 1/6 < 1, logo converge. Portanto, pela LCT, sumn=1^infty an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 16^n - 3 converge por comparação no limite com a série geométrica de razão 1/6.

Exercícios relacionados