Calcule integralx=0^x=1 integraly=x^y=3 x+1 x y d y d x, integraly=0^y=1 integralx=y^x=3 y+1 x y^2 d y d x, integral0^4(integral0^1 x e^x y d y) d x, integral0^2(integralln y^y^2 y e^x y d x) d y e integral0^pi(integral0^y^2 operatorname s e n n(x / y) d x) d y

Passo 1

O exercício pede para calcular cinco integrais iteradas diferentes. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais duplas por iteração, uso de antiderivadas simples, mudança de variável em integrais simples e partes.

Passo 2

Para I1=integral0^1integraly=x^3x+1x,y,dy,dx, primeiro integramos em y:
integraly=x^3x+1x,y,dy = x[tfracy^22]y=x^3x+1 =x2l((3x+1)^2 - x^2r) =8x^3+6x^2+x2
Depois integramos em x de 0 a 1:
I1=integral0^18x^3+6x^2+x2,dx =12l[2 + 2 + tfrac12r] =94

Passo 3

Para I2=integral0^1integralx=y^3y+1x,y^2,dx,dy, fato que o integrando separa em y^2 vezes algo em x. Assim:
integralx=y^3y+1x,dx=[tfracx^22]x=y^3y+1=(3y+1)^2 - y^22=8y^2+6y+12
Logo
I2=integral0^1y^2cdot8y^2+6y+12,dy =12integral0^1(8y^4+6y^3+y^2),dy =10360

Passo 4

Para I3=integral0^4l(integral0^1x e^xy,dyr)dx, note que ddy(e^xy)=x e^xy. Assim
integral0^1x e^xy,dy=l[e^xyr]0^1=e^x -1,
e então
I3=integral0^4(e^x -1),dx=l[e^x - xr]0^4=e^4 -5

Passo 5

Para x, usamos substituição em u=xy: se du=y,dx, então integral y e^xy,dx=integral e^u,du=e^u=e^xy e
integral ln y^y^2y e^xy,dx=e^y^3-e^yln y=e^y^3-y^y,
Portanto
I4=integral0^2l(e^y^3-y^yr)dy,
e
que não admite forma elementar mais simples.

Passo 6

Para I5=integral0^pil(integral0^y^2sin(x/y),dxr)dy, fazemos a troca de variável u=tfracxy, então dx=y,du e quando x=0Rightarrow u=0, x=y^2Rightarrow u=y. Logo
integral0^y^2sin(x/y),dx=yintegral0^ysin u,du=yl[1-cos yr]
Assim
I5=integral0^piy(1-cos y),dy =integral0^piy,dy-integral0^piycos y,dy =pi^22-(-2)=pi^22+2

Resposta

I1=tfrac94, I2=tfrac10360, I3=e^4-5, I4=integral0^2(e^y^3-y^y)dy, I5=tfracpi^22+2

Exercícios relacionados