Resolva
em coordenadas esféricas,
se
é a parte da esfera
no primeiro octante.
se
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde R é a parte da esfera
no primeiro octante. O conteúdo envolve coordenadas esféricas, em que usamos
e o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas a expressão
vira
, então o integrando fica
e o elemento de volume é
. Portanto o integrando total é
Passo 3
Os limites para o primeiro octante são
Assim a integral se separa em três partes: radial, polar e azimutal.
Passo 4
Calculando a parte radial:
[
\int_{0}{3}2ρ8,dρ
=2\cdot\frac{ρ9}{9}\Big|_{0}{3}
=2\cdot\frac{3^9}{9}
=2\cdot2187
=4374.
\int_{0}{3}2ρ8,dρ
=2\cdot\frac{ρ9}{9}\Big|_{0}{3}
=2\cdot\frac{3^9}{9}
=2\cdot2187
=4374.
Passo 5
A parte em
é
e a parte em
é
Passo 6
Multiplicando tudo:
Resposta
2187π