Resolva integral triplaR 2(x^2+y^2+z^2)^3 d x d y d z em coordenadas esféricas,
se R é a parte da esfera x^2+y^2+z^2 <= 9 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral triplaR2l(x^2+y^2+z^2r)^3,dx,dy,dz
onde R é a parte da esfera x^2+y^2+z^2<=9 no primeiro octante. O conteúdo envolve coordenadas esféricas, em que usamos
x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ
e o jacobiano ρ^2sinφ.

Passo 2

Em coordenadas esféricas a expressão x^2+y^2+z^2 vira ρ^2, então o integrando fica
2l(ρ^2r)^3=2ρ^6,
e o elemento de volume é dV=ρ^2sinφ,dρ,dφ,dθ. Portanto o integrando total é
2ρ^6cdotρ^2sinφ=2ρ^8sinφ

Passo 3

Os limites para o primeiro octante são
0<=θ<=tfracπ2, 0<=φ<=tfracπ2, 0<=ρ<=3
Assim a integral se separa em três partes: radial, polar e azimutal.

Passo 4

Calculando a parte radial:
[
\int_{0}{3}2ρ8,dρ
=2\cdot\frac{ρ9}{9}\Big|_{0}{3}
=2\cdot\frac{3^9}{9}
=2\cdot2187
=4374.

Passo 5

A parte em φ é
integral0^π/2sinφ,dφ=l[-cosφr]0^π/2=1
e a parte em θ é
integral0^π/2dθ=π2

Passo 6

Multiplicando tudo:
4374times1timesπ2=2187π

Resposta

2187π

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