Calcule o volume do sólido no espaço X Y Z delimitado por z=36-x^2-y^2 e z=3 x^2+8 y^2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em
XYZ limitado pelas superfícies
z=36−x{2}−y{2}
(e um paraboloide invertido) e
z=3x{2}+8y{2}
(e um paraboloide que abre pra cima). Vamos usar integração dupla no plano XY sobre a região de projeção onde as duas superfícies se interceptam.

Passo 2

Para achar a região de projeção D no plano XY, igualamos as superfícies:
36 - x^2 - y^2 = 3x^2 + 8y^2
Isto dá
4x^2 + 9y^2 = 36
que é a elipse
x^29 + y^24 <= 1 .

Passo 3

Expressamos o volume como integral dupla:
V = integral duplaD l[(36 - x^2 - y^2) - (3x^2 + 8y^2)r] ,dA = integral duplaD l[36 - 4x^2 - 9y^2r] ,dA .

Passo 4

Para simplificar a integral, fazemos a mudança elíptica
x = 3u, y = 2v
que transforma D numa unidade circular u^2+v^2<=1 e tem jacobiano J=6. Então
V = integral duplau^2+v^2<=1 l[36(1 - u^2 - v^2)r]cdot 6 ,du,dv = 216 integral duplau^2+v^2<=1 (1 - u^2 - v^2) ,du,dv

Passo 5

Na forma polar u=rcostheta,;v=rsintheta, com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, temos
V = 216 integral0^2pi integral0^1 (1 - r^2) ,r ,dr,dtheta = 216 cdot 2pi integral0^1 (r - r^3) ,dr = 216 cdot 2pi l[tfrac12 - tfrac14r] = 216 cdot pi2 = 108pi

Resposta

108\pi

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