Calcule o volume do sólido no espaço
delimitado por
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido em
XYZ limitado pelas superfícies
XYZ limitado pelas superfícies
z=36−x{2}−y{2}
(e um paraboloide invertido) e
z=3x{2}+8y{2}
(e um paraboloide que abre pra cima). Vamos usar integração dupla no plano XY sobre a região de projeção onde as duas superfícies se interceptam.
Passo 2
Para achar a região de projeção D no plano XY, igualamos as superfícies:
Isto dá
que é a elipse
Passo 3
Expressamos o volume como integral dupla:
Passo 4
Para simplificar a integral, fazemos a mudança elíptica
que transforma D numa unidade circular
e tem jacobiano
. Então
Passo 5
Na forma polar
, com
,
, temos
Resposta
108\pi