Calcule integraly F cdot d r sendo dados:
F(x, y, z)=(x+y+z) k e gamma(t)=(t, t, 1-t^2), 0 <= t <= 1

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha integralgamma vec Fcdot dvec r, onde vec F(x,y,z)=(x+y+z),vec k e gamma(t)=(t,t,1-t^2) para 0<= t<=1. O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial, e vamos precisar usar a parametrização da curva, compor vec F nessa parametrização e depois fazer o produto escalar com gamma'(t).

Passo 2

Vamos calcular a derivada da parametrização:
gamma(t)=(t,,t,,1-t^2)
Logo,
gamma'(t)=(1,,1,,-2t)

Passo 3

Agora colocamos a curva em vec F: como x=t, y=t, z=1-t^2),
vec F(gamma(t))=(t+t+(1-t^2)),vec k=(2t+1-t^2),vec k

Passo 4

O produto escalar é dado por
vec F(gamma(t))cdotgamma'(t)=(0,0,2t+1-t^2)cdot(1,1,-2t)=-(2t+1-t^2),2t

Passo 5

Então a integral fica
integral0^1vec F(gamma(t))cdotgamma'(t),dt=integral0^1[-2t(2t+1-t^2)],dt=integral0^1[-4t^2-2t+2t^3],dt

Passo 6

Finalmente, calculando essa integral:
integral0^1(-4t^2-2t+2t^3),dt=l[-tfrac4t^33-t^2+tfract^42r]0^1=-tfrac43-1+tfrac12=-tfrac116

Resposta

-\n11/6

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