Calcule as integraus
\int_{0}^{\pi / 3} 2 \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = \int_{0}^{\pi/3} 2\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica básica, sabendo que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Vamos fatorar constantes e usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Fatorando a constante 2 para fora da integral, obtemos
I = 2 \int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec}^{2}x \,dx.

Passo 3

Reconhecemos que
\frac{d}{dx}(\tan x) = \operatorname{sec}^{2}x,
portanto
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à integral definida, temos
I = 2 \bigl[\tan x\bigr]_{0}^{\pi/3} = 2\bigl(\tan(\pi/3) - \tan(0)\bigr).

Passo 5

Calculando os valores conhecidos:
\tan(\pi/3) = \sqrt{3}, \quad \tan(0) = 0.
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I = 2\bigl(\sqrt{3} - 0\bigr) = 2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}

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