Sendo
(|\vec{u}|=4, |\vec{v}|=3) e \vec{u} \cdot \vec{v}=3, calcular:
(3 \vec{u}-2 \vec{v}) \cdot(-\vec{u}+4 \vec{v});

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \vec{u} e \vec{v} tais que \|\vec{u}\|=4, \|\vec{v}\|=3 e \vec{u}\cdot\vec{v}=3. Pede-se para calcular o produto escalar
(3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}).
O conteúdo necessário é a bilinearidade do produto escalar e as identidades \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2 e \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2.

Passo 2

Lembrando as propriedades do produto escalar em \mathbb{R}^n:
  1. É bilinear, ou seja, (a\vec{a}+b\vec{b})\cdot\vec{c}=a\,\vec{a}\cdot\vec{c}+b\,\vec{b}\cdot\vec{c} e \vec{c}\cdot(a\vec{a}+b\vec{b})=a\,\vec{c}\cdot\vec{a}+b\,\vec{c}\cdot\vec{b}.
  2. \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2 e \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2.
  3. \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.

Passo 3

Aplicando a bilinearidade, expandimos
(3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}) =3\vec{u}\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}) \;-\;2\vec{v}\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}).

Passo 4

Agora calculamos cada termo:
3\vec{u}\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}) =3\bigl(-\vec{u}\cdot\vec{u}+4\,\vec{u}\cdot\vec{v}\bigr) =3\bigl(-\|\vec{u}\|^2+4(\vec{u}\cdot\vec{v})\bigr) =3\bigl(-16+4\cdot3\bigr) =3(-16+12) =3\cdot(-4) =-12,
-2\vec{v}\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}) =-2\bigl(-\vec{v}\cdot\vec{u}+4\,\vec{v}\cdot\vec{v}\bigr) =-2\bigl(-(\vec{u}\cdot\vec{v})+4\|\vec{v}\|^2\bigr) =-2\bigl(-3+4\cdot9\bigr) =-2(-3+36) =-2\cdot33 =-66.

Passo 5

Somando os resultados de cada termo:
(3\vec{u}-2\vec{v})\cdot(-\vec{u}+4\vec{v}) =-12 + (-66) =-78.

Resposta

-78

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