Questão 5 ( 1,0 ponto). Seja f(x, y)=2 x y^{2}. Determine as equaçöes do plano tangente e da reta normal do ponto (1,1, f(1,1)).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente e a reta normal à superfície definida por
z=f(x,y)=2xy^2
no ponto (1,1,f(1,1)). Para isso vamos precisar das derivadas parciais de f em relação a x e a y, avaliá-las em (1,1), usar a fórmula do plano tangente e, em seguida, construir a reta cuja direção é o vetor normal a esse plano.

Passo 2

Calcular o ponto e as derivadas parciais.
f(1,1)=2\cdot1\cdot1^2=2.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2y^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4xy.
Em (1,1) obtemos
f_x(1,1)=2\cdot1^2=2, \quad f_y(1,1)=4\cdot1\cdot1=4.

Passo 3

Escrever o plano tangente usando a fórmula da diferencial total:
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Substituindo (x_0,y_0,z_0)=(1,1,2) e os valores de f_x e f_y:
z - 2 = 2\,(x-1) + 4\,(y-1).
Se quiser em forma explícita:
z = 2 + 2x - 2 + 4y - 4 \quad\Longrightarrow\quad z = 2x + 4y - 4.

Passo 4

Determinar o vetor normal ao plano. A equação em forma A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 surge de
2\,(x-1) + 4\,(y-1) - (z-2)=0,
logo o vetor normal é \bigl\langle 2,4,-1\bigr\rangle. A reta normal parte de (1,1,2) e tem direção \langle2,4,-1\rangle, portanto em forma paramétrica:
\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = 1 + 4t,\\\ z = 2 - t. \end{cases}
Em forma simétrica:
\frac{x-1}{2} \;=\;\frac{y-1}{4}\;=\;\frac{z-2}{-1}.

Resposta

Plano tangente:
z - 2 = 2\,(x-1) + 4\,(y-1),
ou equivalentemente
z = 2x + 4y - 4.
Reta normal (paramétrica):
x = 1 + 2t,\quad y = 1 + 4t,\quad z = 2 - t.
Ou em forma simétrica:
\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{-1}.

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