Questão 3 (1,5 ponto). As seguintes afirmações são verdadeiras? Justifique! Exemplifique!
(1) Sejam
. Se as derivadas parciais
existirem em
, forem contínuas em
, então
será diferencial neste ponto.
(2) Seja
, temos que
é ponto de acumulação de
.
(1) Sejam
(2) Seja
Passo 1
O enunciado traz duas afirmações sobre funções e topologia em
:
(1) Um critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas.
(2) Verificar se o ponto é ponto de acumulação do conjunto
(1) Um critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas.
(2) Verificar se o ponto
O conteúdo envolvido é: teoria de diferenciabilidade em várias variáveis e definição de ponto de acumulação em topologia.
Passo 2
Para a afirmação (1), usamos o teorema padrão de cálculo em várias variáveis:
Se uma função
Se uma função
possui as derivadas parciais
e
existentes em
e contínuas em
, então
é diferenciável em
.
Justificativa esquemática: continuidade das parciais garante que o erro do aproximador linear
Justificativa esquemática: continuidade das parciais garante que o erro do aproximador linear
é
, ou seja, tende a zero relativo à norma
.
Exemplo concreto:
Exemplo concreto:
Aqui
são contínuas em todo
, logo
é diferenciável em qualquer ponto.
Passo 3
Para a afirmação (2), lembramos que
é ponto de acumulação de
se todo disco
contém algum ponto de
diferente de
. No caso
, note que
A distância de
à reta
é
Basta então escolher qualquer
. Para esse
, todo ponto em
satisfaz
logo não pertence a
. Portanto
não é ponto de acumulação de
.
Resposta
(1) Verdadeira, pois derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade. Ex.:
.
(2) Falsa, pois existe um disco de raio centrado em
que não intercepta
.
(2) Falsa, pois existe um disco de raio