Questão 3 (1,5 ponto). As seguintes afirmações são verdadeiras? Justifique! Exemplifique!
(1) Sejam f: A \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} e(x_{0}, y_{0}) \in A. Se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existirem em A, forem contínuas em (x_{0}, y_{0}), então f será diferencial neste ponto.
(2) Seja S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y>x\right\}, temos que \binom{x}{(3,2)} é ponto de acumulação de S.

Passo 1

O enunciado traz duas afirmações sobre funções e topologia em \mathbb{R}^2:
(1) Um critério de diferenciabilidade via derivadas parciais contínuas.
(2) Verificar se o ponto (3,2) é ponto de acumulação do conjunto
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y > x\}.
O conteúdo envolvido é: teoria de diferenciabilidade em várias variáveis e definição de ponto de acumulação em topologia.

Passo 2

Para a afirmação (1), usamos o teorema padrão de cálculo em várias variáveis:
Se uma função
f\colon A\subset\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}
possui as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existentes em A e contínuas em (x_0,y_0), então f é diferenciável em (x_0,y_0).
Justificativa esquemática: continuidade das parciais garante que o erro do aproximador linear
L(h,k)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,h+f_y(x_0,y_0)\,k
é o(\sqrt{h^2+k^2}), ou seja, tende a zero relativo à norma \sqrt{h^2+k^2}.
Exemplo concreto:
f(x,y)=x^2+y^2.
Aqui
f_x(x,y)=2x,\quad f_y(x,y)=2y
são contínuas em todo \mathbb{R}^2, logo f é diferenciável em qualquer ponto.

Passo 3

Para a afirmação (2), lembramos que (x_0,y_0) é ponto de acumulação de S se todo disco
B_r(x_0,y_0)=\{(x,y)\mid \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<r\}
contém algum ponto de S diferente de (x_0,y_0). No caso (x_0,y_0)=(3,2), note que
y_0 - x_0 = 2 - 3 = -1 < 0.
A distância de (3,2) à reta y=x é
\frac{|2-3|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0.
Basta então escolher qualquer r<1/\sqrt{2}. Para esse r, todo ponto em B_r(3,2) satisfaz
y - x < 0,
logo não pertence a S. Portanto (3,2) não é ponto de acumulação de S.

Resposta

(1) Verdadeira, pois derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade. Ex.: f(x,y)=x^2+y^2.
(2) Falsa, pois existe um disco de raio r<1/\sqrt{2} centrado em (3,2) que não intercepta S.

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