Calcule o interior, o fecho, a fronteira, ponto isolado e o conjunto derivado de cada um dos seguintes subconjuntos de \mathbb{R} : V=([2,3] \cap(\mathbb{R} \mid \mathbb{Q})) \cup[3, \pi] \cup([\pi, 4] \cap \mathbb{Q})
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule, para o conjunto
V = ([2,3]\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}))\;\cup\;[3,\pi]\;\cup\;([\pi,4]\cap\mathbb{Q}),
os seguintes objetos: o interior de V, o fecho (fechamento, closure) de V, a fronteira de V, os pontos isolados de V e o conjunto derivado (conjunto de pontos de acumulação) de V.
Informações relevantes dadas no enunciado:
A primeira parcela é [2,3]\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}): ou seja, os números irracionais em [2,3].
A segunda parcela é [3,\pi]: o intervalo fechado que contém todos os reais entre 3 e \pi, inclusive.
A terceira parcela é [\pi,4]\cap\mathbb{Q}: ou seja, os números racionais em [\pi,4].
Lembrete (usarei várias vezes): os racionais \mathbb{Q} e os irracionais \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} são densos em \mathbb{R}: em qualquer intervalo aberto há racionais e há irracionais.
Passo 2
Relembrando as definições (curtas e úteis para a prova):
Interior de V: o maior conjunto aberto contido em V. Um ponto x está no interior se existe um intervalo aberto centrado em x totalmente contido em V.
Fecho \overline{V}: o menor conjunto fechado que contém V; é V junto com todos os seus pontos de acumulação.
Fronteira \partial V: \partial V = \overline{V} \setminus \operatorname{int}(V).
Ponto isolado: x\in V é isolado se existe um intervalo aberto com interseção com V igual a \{x\}.
Conjunto derivado V': conjunto de pontos de acumulação de V, isto é, pontos x em que toda vizinhança contém pontos de V diferentes de x.
Vou usar também a propriedade prática: se um subconjunto de um intervalo contém racionais e irracionais em qualquer vizinhança (ou contém um intervalo aberto), isso influencia interior/fecho/derivado.
Passo 3
Análise do interior de V.
Observação inicial: a parte [3,\pi] é um intervalo fechado que contém todo o segmento entre 3 e \pi. Portanto todo ponto x com 3<x<\pi tem uma pequena vizinhança contida em [3,\pi], logo contida em V. Assim (3,\pi)\subseteq \operatorname{int}(V).
Agora preciso verificar se existem outros pontos em \operatorname{int}(V):
Para x\in(2,3): V só contém os irracionais em [2,3], não contém os racionais desse intervalo. Em qualquer intervalo aberto centrado em x aparecem racionais (pois \mathbb{Q} é denso), e esses racionais não pertencem a V. Logo não existe intervalo aberto inteiro contido em V ao redor de x. Portanto nenhum ponto de (2,3) pertence ao interior.
Para x\in(\pi,4): V só contém os racionais em [\pi,4], não contém os irracionais desse intervalo. Em qualquer vizinhança de tal x há irracionais (densidade dos irracionais) que não pertencem a V. Assim nenhum ponto de (\pi,4) é interior.
Verificar os pontos 3 e \pi: ambos pertencem a V (porque 3\in[3,\pi] e \pi\in[3,\pi]). Mas para 3 qualquer intervalo centrado em 3 alcança pontos à esquerda em (2,3) que são irracionais (esses pontos estão em V) e pontos racionais (que não estão em V), então não há intervalo inteiro ao redor de 3 contido em V. Portanto 3\notin\operatorname{int}(V). Para \pi qualquer intervalo centrado em \pi atinge pontos à direita em (\pi,4) que são irracionais (não estão em V), então \pi\notin\operatorname{int}(V).
Conclusão parcial: o único conjunto aberto contido em V que aparece claramente é (3,\pi). Como mostramos que nenhum outro ponto de V é interior, temos
\operatorname{int}(V) = (3,\pi).
Passo 4
Cálculo do fecho \overline{V}.
Vou usar que o fecho da união é a união dos fechos: \overline{A\cup B\cup C}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}.
Fecho de [2,3]\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) (irracionais em [2,3]): os irracionais são densos em [2,3], ou seja, em qualquer ponto de [2,3] existem irracionais arbitrariamente próximos. Assim o fecho desse conjunto é todo [2,3].
Formalmente: \overline{[2,3]\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})}=[2,3].
Fecho de [3,\pi] é [3,\pi] (um conjunto fechado).
Fecho de [\pi,4]\cap\mathbb{Q} (racionais em [\pi,4]): os racionais são densos em [\pi,4], logo o fecho é [\pi,4].
Formalmente: \overline{[\pi,4]\cap\mathbb{Q}}=[\pi,4].
Como esses intervalos se encadeiam com sobreposição nos pontos 3 e \pi, a união é simplesmente o intervalo contínuo
\overline{V} = [2,4].
Passo 5
Cálculo da fronteira \partial V.
Pelo item anterior e pelo item do interior, a fronteira é
\partial V = \overline{V} \setminus \operatorname{int}(V).
Usando \overline{V}=[2,4] e \operatorname{int}(V)=(3,\pi), temos
\partial V = [2,4]\setminus(3,\pi).
Removendo (3,\pi) de [2,4] sobra o conjunto formado por tudo entre 2 e 3 (incluindo 3) e tudo entre \pi e 4 (incluindo \pi). Assim
\partial V = [2,3]\\ \cup\\ [\pi,4].
Passo 6
Verificação de pontos isolados.
Definição prática: x\in V é isolado se existe um intervalo aberto I com I\cap V=\{x\}.
Analise dos tipos de pontos em V:
Para x\in(2,3) (irracional): em qualquer vizinhança de x existem outros irracionais (pois irracionais são infinitos e densos), logo existem muitos pontos de V diferentes de x. Então não é isolado.
Para x\in(3,\pi): esses pontos pertencem ao intervalo [3,\pi] inteiro; em qualquer vizinhança há outros pontos do intervalo, portanto não são isolados.
Para x\in(\pi,4) racionais: em qualquer vizinhança existem outros racionais (a densidade dos racionais), então não são isolados.
Para os pontos extremos 3 e \pi (ambos em V): qualquer vizinhança de 3 contém irracionais em (2,3) que estão em V e pontos em (3,\pi) que estão em V; para \pi há pontos em (3,\pi) arbitrariamente próximos. Logo também não são isolados.
Conclusão: não há pontos isolados em V. Em símbolos,
\text{pontos isolados de }V = \varnothing.
Passo 7
Cálculo do conjunto derivado V' (pontos de acumulação).
Propriedade útil: todo ponto de \overline{V} que não for isolado é ponto de acumulação; como já determinamos \overline{V}=[2,4] e que V não tem pontos isolados, isso sugere que V'=[2,4]. Vou justificar diretamente:
Para qualquer x\in[2,3]: existem irracionais de [2,3]\cap(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) arbitrariamente próximos de x, logo toda vizinhança de x contém pontos de V diferentes de x. Portanto x é ponto de acumulação.
Para qualquer x\in(3,\pi): esses pontos pertencem a um intervalo aberto contido em V, então são claramente pontos de acumulação.
Para qualquer x\in[\pi,4]: existem racionais de [\pi,4]\cap\mathbb{Q} arbitrariamente próximos de x, logo x é ponto de acumulação.
Assim todo ponto de [2,4] é ponto de acumulação, e não existem pontos de acumulação fora de [2,4] (porque \overline{V}=[2,4]). Portanto
V' = [2,4].
Resposta
\operatorname{int}(V)=(3,\pi) \overline{V}=[2,4] \partial V=[2,3]\cup[\pi,4]
Pontos isolados: \varnothing
Conjunto derivado: V'=[2,4]