Calcule o interior, o fecho, a fronteira, ponto isolado e o conjunto derivado de cada um dos seguintes subconjuntos de \mathbb{R} :
Y=\left\{\frac{(-1)^{n}}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule, para o conjunto
Y=\left\{\frac{(-1)^{n}}{n}: n\in\mathbb{N}\right\},
os seguintes objetos: o interior de Y, o fecho de Y, a fronteira de Y, os pontos isolados de Y e o conjunto derivado (conjunto de pontos de acumulação) de Y.
Informações que o enunciado dá (listas explícitas):
  • Y é a sequência de pontos \frac{(-1)^n}{n}. Os primeiros termos são \frac{(-1)^1}{1}=-1, \frac{(-1)^2}{2}=\tfrac12, \frac{(-1)^3}{3}=-\tfrac13, \frac{(-1)^4}{4}=\tfrac14,\dots.
  • Os pontos de Y alternam de sinal e seus módulos são \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}, que tendem para 0 quando n\to\infty.
  • Observação importante: 0\notin Y (nenhum termo da forma \frac{(-1)^n}{n} é zero).

Passo 2

Vou estudar o comportamento dos pontos de Y. Primeiro uma observação básica e útil:
Propriedade: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0.
Explicação didática: o sinal (-1)^n só alterna entre 1 e -1; o fator que vai a zero é \tfrac{1}{n}. Como \tfrac{1}{n}\to0, o produto \tfrac{(-1)^n}{n} também tende a 0. Isso mostra que os pontos de Y acumulam-se em 0 (muitos pontos de Y ficam arbitrariamente próximos de 0), mesmo que 0 não pertença a Y.

Passo 3

Vou mostrar que cada ponto de Y é isolado (ou seja, cada y_n=\tfrac{(-1)^n}{n} tem um intervalo que contém apenas ele, nenhum outro ponto de Y).
Prova passo a passo: fixe um n\in\mathbb{N} e escreva y_n=\tfrac{(-1)^n}{n}. Para m\neq n temos, pela desigualdade triangular reversa,
|y_m-y_n| \ge \big||y_n|-|y_m|\big| = \left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|.
A função m\mapsto\frac{1}{m} é estritamente decrescente, logo, entre os índices m\neq n o menor valor de \left|\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{m}\right| ocorre quando m é vizinho de n (isto é, m=n-1 ou m=n+1, quando esses existem). Em particular existe uma constante positiva
\delta_n:=\min_{m\in\mathbb{N},\,m\neq n}\left|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right|>0.
Escolho então
r_n:=\frac{\delta_n}{2}>0.
Com essa escolha, o intervalo aberto (y_n-r_n,y_n+r_n) não contém nenhum ponto de Y além de y_n (pois qualquer outro ponto y_m estaria a distancia \ge\delta_n de y_n). Logo y_n é um ponto isolado de Y.
Observação prática: uma escolha explícita que funciona é r_n=\dfrac{1}{2n(n+1)}, pois para m>n temos \left|\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{m}\right|\ge \tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n+1}=\tfrac{1}{n(n+1)} e para m<n a diferença é ainda maior. Assim r_n>0 funciona em todos os casos.

Passo 4

A partir do passo anterior podemos concluir sobre o conjunto derivado Y' (conjunto de pontos de acumulação, ou pontos que são limite de outros pontos de Y distintos do próprio ponto).
  • Já vimos que 0 é um ponto de acumulação porque para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que, se n\ge N, então \left|\tfrac{(-1)^n}{n}-0\right|=\tfrac{1}{n}<\varepsilon. Assim toda vizinhança de 0 contém pontos de Y diferentes de 0 (na verdade contém infinitos pontos de Y). Logo 0\in Y'.
  • Se x\neq 0, mostrei que se x\in Y então x é isolado, logo não é ponto de acumulação. Se x\notin Y e x\neq 0, então existe uma distância mínima positiva entre x e os pontos de Y (porque |x-y_n|\to|x| quando n\to\infty, então as distâncias não podem tender a zero), logo existe uma vizinhança de x sem pontos de Y. Portanto x\notin Y'.
Conclusão: o único ponto de acumulação de Y é 0, isto é,
Y'=\{0\}.

Passo 5

Fecho de Y (definição e cálculo):
Definição rápida: o fecho \overline{Y} é o menor conjunto fechado que contém Y; equivalently, \overline{Y}=Y\cup Y' (o conjunto junto com seus pontos de acumulação).
Como Y'=\{0\} e 0\notin Y, temos
\overline{Y}=Y\cup\{0\}=\left\{\frac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\cup\{0\}.

Passo 6

Interior de Y:
Lembre-se: um ponto x pertence ao interior de Y se existe um intervalo aberto centrado em x inteiramente contido em Y. Mas cada y_n\in Y é isolado, então não existe intervalo não-trivial contido em Y (um intervalo contém infinitos pontos reais e Y é apenas uma sequência contável sem intervalos). Assim o interior é vazio:
\operatorname{int}(Y)=\varnothing.

Passo 7

Fronteira de Y:
Definição: a fronteira \partial Y é \overline{Y}\setminus\operatorname{int}(Y).
Já temos \overline{Y}=Y\cup\{0\} e \operatorname{int}(Y)=\varnothing. Portanto
\partial Y=\overline{Y}=\left\{\frac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\cup\{0\}.

Resposta

\operatorname{int}(Y)=\varnothing
\overline{Y}=Y\cup\{0\}=\left\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\cup\{0\}
\partial Y=Y\cup\{0\}=\left\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\cup\{0\}
Pontos isolados de Y: todos os pontos de Y, ou seja \left\{\dfrac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}
Conjunto derivado: Y'=\{0\}

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