Calcule a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=r^2 com o hiperbolóide parabólico z=x^2-2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre a esfera
x^2+y^2+z^2=r^2
e o hiperbolóide parabólico
z = x^2 - 2y^2
O que precisamos fazer é resolver o sistema substituindo z da segunda equação na primeira, obtendo uma condição só em x e y, e então recuperar z.

Passo 2

Substituímos
z = x^2 - 2y^2
em
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
Isso dá
x^2 + y^2 + (x^2 - 2y^2)^2 = r^2

Passo 3

Expandindo o quadrado (x^2-2y^2)^2 e recolhendo tudo num só polinômio, obtemos
x^2 + y^2 + l(x^4 -4x^2y^2 +4y^4r) = r^2,
ou seja
x^4 ;-;4x^2y^2;+;4y^4;+;x^2;+;y^2;-;r^2;=;0

Passo 4

Portanto, a interseção é a curva de quarto grau dada por
x^4 -4x^2y^2 +4y^4 + x^2 + y^2 - r^2 = 0,
com a coordenada z determinada por
z = x^2 - 2y^2

Resposta

A curva de interseção é
l(x,y,z)inR^3mid x^4-4x^2y^2+4y^4+x^2+y^2-r^2=0,;z=x^2-2y^2r

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