Conside o hiperbolóide de uma folha
.
i) Calcule as duas retas
e
passando pelo ponto
e que estejam contidas no hiperbóide.
ii) Calcule o ângulo entre
e
.
iii) Calcule o plano que contém as retas
e
, escrevendo as suas equações cartesiana e paramétrica.
i) Calcule as duas retas
ii) Calcule o ângulo entre
iii) Calcule o plano que contém as retas
Passo 1
O enunciado dá o hiperboloide de uma folha
e pede: (i) as duas retas
contidas no hiperboloide que passam por
; (ii) o ângulo entre elas; (iii) o plano que as contém, em forma cartesiana e paramétrica. Vamos usar o fato de que, em um hiperboloide de uma folha, as retas são dadas por
e exigem que, substituindo em
, o polinômio em
seja identicamente zero.
Passo 2
Substituindo
em
obtemos, após expandir e simplificar, as condições
A primeira dá
Passo 3
Substituindo
em
e multiplicando por
resulta
Fazendo
obtém-se
cuja solução é
Passo 4
Para cada raiz
fixamos
, então
Denotemos
As duas direções são
Passo 5
Assim as retas pedidas são
Passo 6
O ângulo
entre
e
satisfaz
Logo
Passo 7
O plano que contém
e
tem normal
logo a equação cartesiana, usando ponto
, é
Em forma paramétrica:
Resposta
(i)
(ii)
(iii) Equação cartesiana do plano:
e equação paramétrica: