Conside o hiperbolóide de uma folha 2 x^2+3 y^2-4 z^2=1.
i) Calcule as duas retas r1 e r2 passando pelo ponto (1,1,1) e que estejam contidas no hiperbóide.
ii) Calcule o ângulo entre r1 e r2.
iii) Calcule o plano que contém as retas r1 e r2, escrevendo as suas equações cartesiana e paramétrica.

Passo 1

O enunciado dá o hiperboloide de uma folha
2x^2+3y^2-4z^2=1
e pede: (i) as duas retas r1,r2 contidas no hiperboloide que passam por (1,1,1); (ii) o ângulo entre elas; (iii) o plano que as contém, em forma cartesiana e paramétrica. Vamos usar o fato de que, em um hiperboloide de uma folha, as retas são dadas por
(x,y,z)=(1,1,1)+t(a,b,c)
e exigem que, substituindo em 2x^2+3y^2-4z^2=1, o polinômio em t seja identicamente zero.

Passo 2

Substituindo
x=1+at, y=1+bt, z=1+ct
em 2x^2+3y^2-4z^2=1 obtemos, após expandir e simplificar, as condições
4a+6b-8c=0, 2a^2+3b^2-4c^2=0
A primeira dá
2a+3b-4c=0Longrightarrow c=2a+3b4

Passo 3

Substituindo c=2a+3b4 em 2a^2+3b^2-4c^2=0 e multiplicando por 4 resulta
4a^2-12ab+3b^2=0
Fazendo a=kb obtém-se
4k^2-12k+3=0,
cuja solução é
k=3pmraiz62

Passo 4

Para cada raiz k fixamos b=1, então
a=k, c=2k+34
Denotemos
k1=3+raiz62, c1=6+raiz64, k2=3-raiz62, c2=6-raiz64
As duas direções são
d1=(k1,1,c1), d2=(k2,1,c2)

Passo 5

Assim as retas pedidas são
r1: (x,y,z)=(1,1,1)+tl(k1,1,c1r), r2: (x,y,z)=(1,1,1)+tl(k2,1,c2r)

Passo 6

O ângulo theta entre r1 e r2 satisfaz
costheta =d1cdot d2|d1|;|d2| =298 raiz59+18raiz68 ,raiz59-18raiz68 =29raiz1537
Logo
theta=arccos!l(tfrac29raiz1537r)

Passo 7

O plano que contém r1 e r2 tem normal
n=d1times d2 propto(-2,-3,4),
logo a equação cartesiana, usando ponto (1,1,1), é
-2(x-1)-3(y-1)+4(z-1)=0 Long<=ftrightarrow 2x+3y-4z=1
Em forma paramétrica:
(x,y,z)=(1,1,1)+s(k1,1,c1)+t(k2,1,c2), s,tinR

Resposta

(i)
r1: (x,y,z)=(1,1,1)+tl(tfrac3+raiz62,,1,,tfrac6+raiz64r), r2: (x,y,z)=(1,1,1)+tl(tfrac3-raiz62,,1,,tfrac6-raiz64r)
(ii)
theta=arccos!l(tfrac29raiz1537r)
(iii) Equação cartesiana do plano:
2x+3y-4z=1,
e equação paramétrica:
(x,y,z)=(1,1,1)+sl(tfrac3+raiz62,1,tfrac6+raiz64r) +tl(tfrac3-raiz62,1,tfrac6-raiz64r)

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