Sejam
conjuntos. Ache uma condição necessária e suficiente para que:
Passo 1
O enunciado pede uma condição em termos de inclusão entre
,
e
para que
Vamos usar o método clássico de provar igualdade de conjuntos via inclusões mútuas e, a partir daí, extrair a condição necessária e suficiente.
Passo 2
Mostramos que, se a igualdade vale, então
.
Seja . Então
. Como há igualdade,
. Logo
.
Como isso vale para todo , concluímos
Seja
Como isso vale para todo
Passo 3
Agora provamos que, se
, então ocorre a igualdade.
- Provar
.
Seja. - Se
, então por hipótese e claramente . - Se
, então e .
Em ambos os casos.
- Se
- Provar
.
Seja. Então e ou . - Se
, então . - Se
, como também , segue e portanto .
Assim bastapara que as duas inclusões e, portanto, a igualdade ocorram.
- Se
Resposta
A condição necessária e suficiente é