Sejam A, B, C conjuntos. Ache uma condição necessária e suficiente para que:
A cup(B cap C)=(A cup B) cap C

Passo 1

O enunciado pede uma condição em termos de inclusão entre A, B e C para que
A cup (B cap C) ;=;(A cup B)cap C
Vamos usar o método clássico de provar igualdade de conjuntos via inclusões mútuas e, a partir daí, extrair a condição necessária e suficiente.

Passo 2

Mostramos que, se a igualdade vale, então Asubseteq C.
Seja xin A. Então xin Acup(Bcap C). Como há igualdade, xin(Acup B)cap C. Logo xin C.
Como isso vale para todo xin A, concluímos
Asubseteq C

Passo 3

Agora provamos que, se Asubseteq C, então ocorre a igualdade.
  1. Provar Acup(Bcap C)subseteq(Acup B)cap C.
    Seja xin Acup(Bcap C).
    • Se xin A, então por hipótese xin C e claramente xin Asubseteq Acup B.
    • Se xin Bcap C, então xin C e xin Bsubseteq Acup B.
      Em ambos os casos xin(Acup B)cap C.
  2. Provar (Acup B)cap Csubseteq Acup(Bcap C).
    Seja xin(Acup B)cap C. Então xin C e xin A ou xin B.
    • Se xin A, então xin Acup(Bcap C).
    • Se xin B, como também xin C, segue xin Bcap C e portanto xin Acup(Bcap C).
      Assim basta Asubseteq C para que as duas inclusões e, portanto, a igualdade ocorram.

Resposta

A condição necessária e suficiente é
boxedAsubseteq C

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