Calcule a intigral:
integral ln (ln x)x d x

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral de em relação a . Isso tá ligado ao cálculo de integrais envolvendo logaritmos. A gente vai precisar usar uma técnica de substituição pra facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar u = ln x de dudx = 1x Rightarrow du = 1x dx . Ou seja:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso significa que é igual a .

Passo 3

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral ln (ln x)x dx = integral ln u , du
Agora, precisamos resolver . Pra isso, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 4

Lembrando que a fórmula da integração por partes é:
integral v , dw = v w - integral w , dv
Vamos escolher:
v = ln u Rightarrow dv = 1u du
dw = du Rightarrow w = u
Aplicando a fórmula:
integral ln u , du = u ln u - integral u cdot 1u du = u ln u - integral 1 , du = u ln u - u + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original u ln u - u + C = ln x cdot ln (ln x) - ln x + C substituindo :

Resposta

A integral de ln x cdot ln (ln x) - ln x + C em relação a é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados