1. (Cálculo de derivadas e derivação implícita - 2,5 pontos) Ache d yd x
    d) y=cosec(3 x)cotg(y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dydx na relação . O conteúdo principal é derivação implícita combinada com regra do produto e regra da cadeia para funções trigonométricas. Vamos usar as derivadas de e :

Passo 2

Começamos eliminando a fração para facilitar a diferenciação. Multiplicamos os dois lados por , obtendo

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo aplicamos a regra do produto em :

Sabendo que ycdotcotg(y) e , temos

Passo 4

No lado direito derivamos usando regra da cadeia:

Passo 5

Agora igualamos as derivadas:

Passo 6

Isolamos o termo com y':

Dividindo por para obter -y,cosec^2(y),y' = -3,cosec(3x),cotg(3x) - cotg(y):

Resposta

.

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