Considere f(x, y)=x^3+x y+y^22. O conjuntos dos pontos (a, b) para os quais vale simultaneamente que partial fpartial x(a, b)=0 e partial fpartial y(a, b)=0 é:
(a) Uma elipse.
(b) Uma parábola.
© Um conjunto finito de pontos não vazio.
(d) Conjunto vazio.
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

A função é de duas variáveis e queremos achar os pontos críticos, isto é, os pontos (a,b) onde ambas as derivadas parciais se anulam. Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais e sistema de equações.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)=3x^2+y
partial fpartial y(x,y)=x+y

Passo 3

Impondo as condições de ponto crítico, montamos o sistema:
3x^2+y=0
x+y=0
Da segunda equação vem y=-x. Substituindo na primeira:
3x^2+(-x)=0Longrightarrow x(3x-1)=0
Isso dá x=0 ou x=1/3. Então:
Para x=0, y=-0=0.
Para x=1/3, y=-1/3.

Passo 4

Concluímos que o conjunto de pontos críticos é exatamente {,(0,0),,(1/3,-1/3)}, que é um conjunto finito não vazio.

Resposta

O conjunto é finito, formado pelos pontos (0,0) e (1/3,-1/3), ou seja, um conjunto finito de pontos não vazio.

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