Calcule.
\int\left(2 v^{5 / 4}+6 v^{1 / 4}+3 v^{-4}\right) d v

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede calcular
\int\bigl(2v^{5/4}+6v^{1/4}+3v^{-4}\bigr)\,d v.
O conteúdo aqui é aplicação da regra de potência, que diz
\int v^n\,d v = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Integramos cada termo separadamente:
Para \int 2v^{5/4}\,d v, temos n = 5/4, então
\int 2v^{5/4}\,d v = 2 \cdot \frac{v^{9/4}}{9/4} = 2 \cdot \frac{4}{9}\,v^{9/4} = \frac{8}{9}\,v^{9/4}.
Para \int 6v^{1/4}\,d v, n = 1/4, então
\int 6v^{1/4}\,d v = 6 \cdot \frac{v^{5/4}}{5/4} = 6 \cdot \frac{4}{5}\,v^{5/4} = \frac{24}{5}\,v^{5/4}.
Para \int 3v^{-4}\,d v, n = -4, então
\int 3v^{-4}\,d v = 3 \cdot \frac{v^{-3}}{-3} = -\,v^{-3}.

Passo 3

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(2v^{5/4}+6v^{1/4}+3v^{-4}\bigr)\,d v = \frac{8}{9}\,v^{9/4} + \frac{24}{5}\,v^{5/4} - v^{-3} + C.

Resposta

\frac{8}{9}\,v^{9/4} + \frac{24}{5}\,v^{5/4} - v^{-3} + C

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